Réponse :

On considère la fonction ƒ définie sur Df = ] --; 1[U]1;+∞

par f(x)=(- x²+4x-7)/(x - 1) C, est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé

. 1. Montrer que, pour tout xED,, f(x)=-x+3- 4/x-1.

f(x)=(- x²+4x-7)/(x - 1)

f(x) = a x + b + c/(x - 1)

     = [(a x + b)(x - 1) + c]/(x - 1)

     = (a x² - a x + b x - b + c)/(x - 1)

     = (a x² + (b - a) x - b + c)/(x - 1)

a = - 1

b - a = 4  ⇒ b = 4 + a = 4 - 1 = 3

- b + c = - 7  ⇒ c = - 7 + b = - 7 + 3 = - 4

donc f(x) = (- x + 3) - 4/(x - 1)    

2. delta est la droite d'équation y=-x+3 Étudier la position relative de Cf, et delta.

 f(x) - y = (- x + 3) - 4/(x - 1)] - (- x + 3) = - 4/(x - 1)

      x      - ∞                                1                            + ∞

   - 4                          -                                 -

   x - 1                        -                ||               +  

f(x) - y                        +               ||               -

position           C est au-dessus             C est en dessous de Δ

de C/Δ                 de   Δ

3. f' est la fonction dérivée de ƒ sur Df. Montrer que, pour tout xe Df, f'(x)=-(x+1)(x-3)/ (x-1)au carré​

f est une fonction somme d'un polynôme et d'un quotient dérivable sur Df et sa dérivée f ' est :

  f '(x) = - 1 + 4/(x - 1)²

          = (- (x - 1)² + 4)/(x - 1)²

          = (- ((x - 1)² - 4)/(x - 1)²

          = - (x - 1 + 2)(x - 1 - 2)/(x - 1)²

          = - (x + 1)(x - 3)/(x - 1)²

Explications étape par étape :