Usando regras de resolução de equações fracionárias e equações do segundo grau, obtém-se:

m * n = 5

Nota 1

Equação fracionária

É aquela que é uma igualdade de entre duas expressões onde a incógnita x pode aparecer no numerador ou no denominador de frações existentes nessa equação.

Na resolução desta equação, por existirem frações com denominadores diferentes, necessitamos de as colocar com os denominadores iguais.

[tex]\dfrac{x-6}{3}+\dfrac{11}{3x}=\dfrac{2}{x}[/tex]

Os denominadores são :

3

3x

x

Para que fiquem todos os denominadores iguais tem que se fazer as seguintes multiplicações, no numerador e no denominador de cada fração.

• primeira fração → multiplicar por x, assim já fica "3x" no denominador

• segunda fração fica como está, já tem "3x" no denominador

• terceira fração → multiplicar por 3, assim já fica "3x" no denominador

[tex]\dfrac{x\cdot(x-6)}{3\cdot x}+\dfrac{11}{3x}=\dfrac{2\cdot 3}{x\cdot 3}\\~\\\\\dfrac{x^2-6x}{3x}+\dfrac{11}{3x}=\dfrac{6}{3x}\\~\\[/tex]

Nota 2

Equivalência de frações

Cuidado pois [tex]x\neq 0[/tex] .

Para obter uma fração qualquer equivalente a um fração inicial, podemos multiplicar, simultaneamente o numerador e denominador pelo um valor

[tex]x\neq 0[/tex]

Se resultado final der x = 0 , esta manipulação matemática não tem validade.

Nota 3

Há uma Propriedade nas Equações que permite o seguinte :

• multiplicar ambos os membros pelo mesmo valor ( diferente de zero)
• obtém-se uma equação equivalente à equação inicial

De seguida multiplica-se cada termo da equação por "3x" para poder simplificar com o "3x" existente no denominador:

[tex]3x\cdot (\dfrac{x^2-6x}{3x})+3x\cdot(\dfrac{11}{3x})=3x\cdot (\dfrac{6}{3x})\\~\\\\\dfrac{3x\cdot (x^2-6x)}{3x})+\dfrac{3x\cdot11}{3x}=\dfrac{3x\cdot6}{3x}\\~\\\\[/tex]

Como se tem o fator "3x" no numerador e no denominador de cada fração, é cancelado pois usa divisão dá 1.

Deste modo deixam de existir denominadores na equação e assim fica sendo uma equação do segundo grau

[tex]x^2-6x+11=6\\~\\x^2-6x+11-6=0\\~\\x^2-6x+5=0[/tex]

Nota 4

Existem vários métodos para resolver equações completas ( como ) do segundo grau.

Uma delas é através da seguinte fórmula de Bhascara:

[tex]x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c }}{2\cdot a}[/tex]

[tex]x^2-6x+5=0[/tex]

[tex]a = 1[/tex]

[tex]b = - 6[/tex]

[tex]c = 5[/tex]

[tex]x_{1} =\dfrac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 \cdot 5 }}{2\cdot 1}\\~\\\\x_{1} =\dfrac{+6+\sqrt{36-20 }}{2}\\~\\\\x_{1} =\dfrac{6+\sqrt{16 }}{2}\\~\\\\x_{1} =\dfrac{6+4}{2}=\dfrac{10}{2} \\~\\\\x_{1} =5[/tex]

[tex]x_{2} =\dfrac{6-\sqrt{ 16}}{2}\\~\\\\x_{2} =\dfrac{6-4}{2}\\~\\\\x_{2} =\dfrac{2}{2}\\~\\ x_{2} =1[/tex]

Deste modo o produto das raízes seria :

[tex]5\cdot 1 =5[/tex]

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Nota final

O enunciado não é muito claro.

Mas a interpretação que deu deve ser a adequada.

Se for outra, diga.

Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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[tex](\cdot)[/tex]  e ( * )   multiplicação

[tex]x_{1} ~~e~~x_{2}[/tex]  raízes de uma equação do segundo grau

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.