Uma indeterminação acontece quando nos deparamos com um limite que, inicialmente, não temos como calcular. Não significa que o limite não existe, mas não temos como saber o seu valor por meios convencionais. Uma forma de lidar com algumas indeterminações é utilizando a regra de L’Hospital. Seja n ∈ N . Assinale a alternativa que apresenta o valor de lim (X→∞) eˣ / Xⁿ Respostas : a (0), b (eⁿ), c (e), d (1), e (∞)
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Resposta:
Explicação passo a passo:
Para calcular o limite lim (X→∞) eˣ / Xⁿ, podemos utilizar a regra de L’Hôpital. Para isso, basta derivar o numerador e o denominador em relação a x e aplicar o limite novamente. Temos:
lim (X→∞) eˣ / Xⁿ = lim (X→∞) eˣ / nXⁿ⁻¹
Aplicando a regra de L’Hôpital novamente, temos:
lim (X→∞) eˣ / nXⁿ⁻¹ = lim (X→∞) eˣ / n(n-1)Xⁿ⁻²
Podemos continuar aplicando a regra de L’Hôpital até que o denominador não possa mais ser derivado. Nesse caso, como o denominador é uma potência de X, podemos derivar n vezes até que ele se torne uma constante. Portanto, temos:
lim (X→∞) eˣ / Xⁿ = lim (X→∞) eˣ / n! = 0
Portanto, a alternativa correta é (a) 0.
Espero ter ajudado!