Resposta:

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para obter o valor de " x⁴ + 1/x⁴ ", sabendo-se que:

x - 1/x = 3 --- veja: primeiro vamos elevar ao quadrado ambos os membros desta expressão, com o que ficaremos assim:

(x - 1/x)² = 3² ---- desenvolvendo o quadrado dos dois membros, teremos:

x² - 2*x*1/x + 1/x² = 9 ----- continuando o desenvolvimento, temos:

x² - 2x/x + 1/x² = 9 ---- note que em "2x/x", quando dividirmos o "x" do numerador com o "x" do denominador, vai ficar apenas o "2"). Assim:

x² - 2 + 1/x² = 9 ---- passando o "-2" para o 2º membro, teremos:

x² + 1/x² = 9+2

x² + 1/x² = 11

ii) Mas veja que queremos é o valor de " x⁴ + 1/x⁴ ".

Então vamos tomar a expressão acima (x²+1/x² = 11) e vamos elevar, novamente, ambos os membros ao quadrado, ficando:

(x² + 1/x²)² = 11² ----- desenvolvendo o quadrado nos 2 membros, temos:

x⁴ + 2*x²*1/x² + 1/x⁴ = 121 --- continuando o desenvolvimento, temos:

x⁴ + 2x²/x² + 1/x⁴ = 121 ---- note que em "2x²/x²" quando dividimos o x² do numerador com o x² do denominador vamos ficar apenas com o "2". Assim,teremos:

x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 121 ---- passando "2' para o 2º membro, teremos:

x⁴ + 1/x⁴ = 121 - 2

x⁴ + 1/x⁴ = 119 <--- Esta é a resposta.

Explicação passo a passo:

Deu para entender?