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Réponse :

résoudre l'inéquation  (x²+2 x + 1)/(x +1) ≥ x/(x + 1) et dresser le tableau de signes

⇔  (x²+2 x + 1)/(x +1) - x/(x + 1)  ≥ 0  ⇔ (x² + 2 x + 1 - x)/(x+ 1) ≥ 0

⇔ (x² + x + 1)/(x+1) ≥ 0  

    Δ = 1 - 4 = - 3 < 0  donc pas de racine; son signe dépend du signe de a = 1 > 0  donc  x² + x + 1 > 0  et  x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ - 1 donc  x + 1 > 0  ⇔ x > - 1

      tableau de signes

         x   - ∞              - 1                  + ∞      

       x+1             -        ||          +

l'ensemble des solutions est   S = ]- 1 ; + ∞[

Explications étape par étape

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bjr

Résoudre l'inéquation (x²+2x+1)/(x+1) ≥ x/(x+1)

valeur interdite : -1    (un dénominateur ne peut être nul)

D = R - {-1]

Ne surtout pas multiplier les deux membres par (x - 1)

[ le sens de l'inéquation dépend du signe de (x - 1)]

• on transpose le second membre dans le premier

(x²+2x+1)/(x+1) - x/(x+1 ≥ 0

(x² + x + 1)/ (x + 1) ≥ 0

et on étudie le signe du quotient

• signe de x² + x + 1

Δ = 1² - 4*1 = -3

le discriminant est négatif, le trinôme x² + x + 1 n'a pas de racine. Il a

toujours le signe du coefficient de x² qui est 1, donc positif

pour tout x : x² + x + 1 > 0

• le numérateur étant toujours positif, la quotient a le signe

du dénominateur (x + 1)

signe de x + 1

x                               - ∞              -1                 + ∞  

x + 1                                      -      0         +

signe du

quotient                              -        ||          +

                           ///////////////////////

S = ] -1 ;  + ∞ [