Bonsoir ! Svp j'ai un exercice en mathématique c'est pour demain !!!
1-Soit x∈ (R*)⁺ . Montrer que x+1/x ≥2
2-Soit n∈N*
a- Comparer n/n+1 et n+1/n avec 1
b- En déduire une comparaison de n/n+1 et n+1/n
3-Comaparer √2-√5 et √3-2
4-Soit x∈R tel que 1 < x
Montrer que 1/4 < (1/(x+1) -x)²
5- Soient a,b et c de (R*)⁺ tel que a < b
Comparer √a+c - √a et √b+c - √b
1-Soit x∈ (R*)⁺ . Montrer que x+1/x ≥2
2-Soit n∈N*
a- Comparer n/n+1 et n+1/n avec 1
b- En déduire une comparaison de n/n+1 et n+1/n
3-Comaparer √2-√5 et √3-2
4-Soit x∈R tel que 1 < x
Montrer que 1/4 < (1/(x+1) -x)²
5- Soient a,b et c de (R*)⁺ tel que a < b
Comparer √a+c - √a et √b+c - √b
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d'où x+1/x ≥2
les autres je sais pas désolée
1) est ce que (x+1)/x ou x + (1/x)
2)a) n∈N* , on sait que 1>0
on ajoute de chaque coté, donc 1+n >n
alors n/(n+1) < 1 car dénominateur superieur au numérateur
et (n+1)/n > 1 car numérateur superieur au dénominateur
b) puisque n/(n+1) <1 et (n+1)/n > 1 Alors n/(n+1) < (n+1)/n
3) On calcule leur carré
(√2 - √5)² = 2 -2√10 +5 = 7 -2√10
(√3 - 2)² = 3 -4√3 +4 = 7 -4√3
on va comparer 2√10 et 4√3
(2√10)² = 40 et (4√3)² =48
donc 2√10 < 4√3 alors -4√3 < -2√10
on ajoutant 7 à chaque membre on a 7 -4√3 < 7 - 2√10
donc (√3-2)² < (√2 -√5)²
de plus les nombres √3 - 2 et √2 - √5 sont négatifs
alors √3 - 2 > √2 - √5
4) on fait la différence de (1/(1+x) -x)² et 1/4
(1/(1+x) -x)² -1/4 = (1/(1+x))² -2x/(1+x) +x² -1/4; on va réduire au meme dénominateur
= 1/(1+x)² -2x(x+1)/(x+1) +x²(x+1)²/(x+1)² -1/4
=(1 -2x(x+1) +x²(x+1)²)/(1+x)² -1/4
le numérateur est une identité remarquable
= ( 1- x(x+1))²/(1+x)² -(1/2)²
on une autre identité de la forme a² - b²
= ((1-x(x+1))/(1+x) - 1/2)( ( 1-x(x+1)/(1+x) + 1/2 )
= ((1/(1+x)) -x -1/2)( (1/(x+1)) -x +1/2 )
on a x>1 donc x+1 > 2 donc 1/(x+1) < 1/2 alors 1/(1+x) -1/2 <0 de plus -x <0 donc le 1er facteur ((1/(1+x)) -x -1/2 ) est négatif .
Cherchons le signe du 2ème facteur
On a 1/(1+x) < 1/2 donc 1/(1+x) +1/2 < 1
-x < -1
on fait la somme membre à membre on obtient:
1/(1+x) +1/2 -x < 0
donc le 2ème facteur(( 1/(1+x)) -x +1/2) est négatif
donc le produit est positif c'est àdire ((1/(x+1) -x)² -1/4 > 0
Alors 1/(1+x) -x² > 1/4.