Resposta:

Vamos resolver essas equações biquadradas passo a passo:

a) x^4 + 5x^2 = -6

Primeiro, mova todos os termos para um lado da equação para obter:

x^4 + 5x^2 + 6 = 0

Agora, faça uma substituição: deixe z = x^2. A equação se torna:

z^2 + 5z + 6 = 0

Agora, resolva essa equação quadrática:

(z + 2)(z + 3) = 0

Isso nos dá duas soluções para z:

1. z + 2 = 0 → z = -2

2. z + 3 = 0 → z = -3

Agora, lembre-se de que z = x^2. Portanto:

Para z = -2 → x^2 = -2 → Não há solução real, pois não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo.

Para z = -3 → x^2 = -3 → Também não há solução real, pois não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo.

Portanto, a equação original não possui soluções reais.

b) x^2 - (x^2 - 5)^2 = 3

Primeiro, expanda o termo ao quadrado:

x^2 - (x^4 - 10x^2 + 25) = 3

Agrupe os termos semelhantes:

x^2 - x^4 + 10x^2 - 25 = 3

Agora, traga todos os termos para um lado da equação:

-x^4 + 11x^2 - 25 - 3 = 0

-x^4 + 11x^2 - 28 = 0

Substitua z = x^2:

-z^2 + 11z - 28 = 0

Agora, resolva essa equação quadrática:

(z - 7)(z + 4) = 0

Isso nos dá duas soluções para z:

1. z - 7 = 0 → z = 7

2. z + 4 = 0 → z = -4

Agora, lembre-se de que z = x^2. Portanto:

Para z = 7 → x^2 = 7 → x = ±√7

Para z = -4 → x^2 = -4 → Não há solução real, pois não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo.

Portanto, as soluções são x = √7 e x = -√7.

c) (x^2 - 1)^2 + (x^2 - 5)^2 = 40

Primeiro, expanda os termos ao quadrado:

(x^4 - 2x^2 + 1) + (x^4 - 10x^2 + 25) = 40

Some os termos:

2x^4 - 12x^2 + 26 = 40

Agora, traga todos os termos para um lado da equação:

2x^4 - 12x^2 + 26 - 40 = 0

2x^4 - 12x^2 - 14 = 0

Divida todos os termos por 2 para simplificar:

x^4 - 6x^2 - 7 = 0

Substitua z = x^2:

z^2 - 6z - 7 = 0

Agora, resolva essa equação quadrática:

(z - 7)(z + 1) = 0

Isso nos dá duas soluções para z:

1. z - 7 = 0 → z = 7

2. z + 1 = 0 → z = -1

Agora, lembre-se de que z = x^2. Portanto:

Para z = 7 → x^2 = 7 → x = ±√7

Para z = -1 → x^2 = -1 → Não há solução real, pois não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo.

Portanto, as soluções são x = √7 e x = -√7.

d) 9x^2 + 3/x^2 = 28

Primeiro, multiplique todos os termos por x^2 para eliminar o denominador:

9x^4 + 3 = 28x^2

Agora, traga todos os termos para um lado da equação:

9x^4 - 28x^2 + 3 = 0

Agora, faça uma substituição: deixe z = x^2. A equação se torna:

9z^2 - 28z + 3 = 0

Agora, resolva essa equação quadrática:

(3z - 1)(3z - 3) = 0

Isso nos dá duas soluções para z:

1. 3z - 1 = 0 → 3z = 1 → z = 1/3

2. 3z - 3 = 0 → 3z = 3 → z = 1

Agora, lembre-se de que z = x^2. Portanto:

Para z = 1/3 → x^2 = 1/3 → x = ±√(1/3) = ±(1/√3)

Para z = 1 → x^2 = 1 → x = ±1

Portanto, as soluções são x = ±(1/√3) e x = ±1.

e) 6/x^2 - 8 = 1/x^4

Primeiro, multiplique todos os termos por x^4 para eliminar os denominadores:

6x^2 - 8x^4 = 1

Agora, traga todos os termos para um lado da equação:

6x^2 - 8x^4 - 1 = 0

Agora, faça uma substituição: deixe z = x^2. A equação se torna:

6z - 8z^2 - 1 = 0

Agora, resolva essa equação quadrática:

8z^2 - 6z + 1 = 0

Esta equação pode ser fatorada:

(4z - 1)(2z - 1) = 0

Isso nos dá duas soluções para z:

1. 4z - 1 = 0 → 4z = 1 → z = 1/4

2. 2z - 1 = 0 → 2z = 1 → z = 1/2

Agora, lembre-se de que z = x^