Bonjour,

x√x - 8x + 11√x + 20 = 0

On pose X = √x

Notre équation devient X³ - 8X² + 11X + 20 = 0

Essayons de factoriser cette somme sachant que -1 est une racine.

Il existe donc 2 réels a et b tels que

X³ - 8X² + 11X + 20 = (X + 1) (X - a) (X - b) = (X + 1) (X² - (a + b)X + ab) = X³ - (a + b)X² + ab X + X² - (a + b)X + ab = X³ - (a + b - 1)X² + (ab - a - b)X + ab

On a donc a + b - 1 = 8 ; ab - a - b = 11 et ab = 20

Soit a + b = 9 et b = 20/a

D'où a + 20/a = 9 et b = 20/a

ce qui équivaut à a² - 9 a + 20 = 0 et b = 20/a

Δ = 81 - 80 = 1

(a = (9 - 1)/2 ou a = (9 + 1)/2) et b = 20/a

Ce qui équivaut à (a = 4 et b = 20/4 = 5) ou (a = 5 et b = 20/5 = 4)

On en déduit que X³ - 8X² + 11X + 20 = (X + 1) (X - 4) (X - 5)

Revenons maintenant à notre équation.

x√x - 8x + 11√x + 20 = 0 équivaut à X³ - 8X² + 11X + 20 = 0 avec X ≥ 0 (puisque X = √x)

Ce qui équivaut à X₁ = 4 ou X₂ = 5 (-1 n'étant pas une solution possible puisque X ≥ 0)

Soit x₁ = X₁² = 4² = 16 ou x₂ = X₂² = 5² = 25

L'ensemble des solutions de l'équation x√x - 8x + 11√x + 20 = 0 est donc {16 ; 25}

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Bonsoir

x√x - 8x + 11√x + 20 = 0

l'expression est défini ∀ x ≥ 0 car l'antécédent d'une racine carré est toujours positif.

x√x + 11√x = +8x - 20

√x ( x + 11 ) = +8x - 20

A gauche et à droite de l'expression  on élève au carré :

(√x ( x + 11 ))² = (8x - 20)²

(√x)² ( x + 11 )² = (8x - 20)²  pour tout x ≥ 0

x ( x + 11 )² = (8x - 20)²  

x ( x² + 11² + 22x ) = ((8x)² + 20² - 2*20*8x)

x ( x² + 121 + 22x ) = (64x² + 400 - 320x)

x³ + 121x + 22x²  = 64x² + 400 - 320x

x³ + 121x + 22x² - 64x² - 400 + 320x = 0

x³  - 42x²  + 441x -400  = 0

Cherchons les solutions, posons x=1  :

1³  - 42*1²  + 441*1 -400  = 0 donc x=1 est solution.

Effectuons une division euclidienne

x³    - 42x²  + 441x -400  ║      x - 1

--------------------------------------------------

- (x³   - x²)                        ║      x²   - 41x - 400

---------------------------------   ║

0  -41x²  + 441x - 400      ║

- ( -41x² + 41x)                   ║

----------------------------------  ║

      0       +400x - 400    ║

-            (  - 400x + 400 )  ║

------------------------------------ ║

                  0      0

Donc x³  - 42x²  + 441x -400 = 0 peut s'écrire :

(x²   - 41x - 400) (x-1) = 0

x²   - 41x - 400 possède 2 solutions (Tu passes par le delta)

x₁ = 16 et x₂ =  25

Vérifions les solutions de x√x - 8x + 11√x + 20 :

si x=1 alors 1√1 - 8*1 + 11√1 + 20 = 1 -8 + 11 + 20 = 24

x=1 n'est pas solution.

x=16  alors 16√16 - 8*16 + 11√16 + 20 = 16*4  -128 + 11 * 4 + 20 = 0

x=16  est solution et de même pour x=25

donc il existe 2 solutions x₁ = 16 et x₂ =  25

Bon courage