Essayons de factoriser cette somme sachant que -1 est une racine.
Il existe donc 2 réels a et b tels que
X³ - 8X² + 11X + 20 = (X + 1) (X - a) (X - b) = (X + 1) (X² - (a + b)X + ab) = X³ - (a + b)X² + ab X + X² - (a + b)X + ab = X³ - (a + b - 1)X² + (ab - a - b)X + ab
On a donc a + b - 1 = 8 ; ab - a - b = 11 et ab = 20
Soit a + b = 9 et b = 20/a
D'où a + 20/a = 9 et b = 20/a
ce qui équivaut à a² - 9 a + 20 = 0 et b = 20/a
Δ = 81 - 80 = 1
(a = (9 - 1)/2 ou a = (9 + 1)/2) et b = 20/a
Ce qui équivaut à (a = 4 et b = 20/4 = 5) ou (a = 5 et b = 20/5 = 4)
On en déduit que X³ - 8X² + 11X + 20 = (X + 1) (X - 4) (X - 5)
Revenons maintenant à notre équation.
x√x - 8x + 11√x + 20 = 0 équivaut à X³ - 8X² + 11X + 20 = 0 avec X ≥ 0 (puisque X = √x)
Ce qui équivaut à X₁ = 4 ou X₂ = 5 (-1 n'étant pas une solution possible puisque X ≥ 0)
Soit x₁ = X₁² = 4² = 16 ou x₂ = X₂² = 5² = 25
L'ensemble des solutions de l'équation x√x - 8x + 11√x + 20 = 0 est donc {16 ; 25}
Lista de comentários
Bonjour,
x√x - 8x + 11√x + 20 = 0
On pose X = √x
Notre équation devient X³ - 8X² + 11X + 20 = 0
Essayons de factoriser cette somme sachant que -1 est une racine.
Il existe donc 2 réels a et b tels que
X³ - 8X² + 11X + 20 = (X + 1) (X - a) (X - b) = (X + 1) (X² - (a + b)X + ab) = X³ - (a + b)X² + ab X + X² - (a + b)X + ab = X³ - (a + b - 1)X² + (ab - a - b)X + ab
On a donc a + b - 1 = 8 ; ab - a - b = 11 et ab = 20
Soit a + b = 9 et b = 20/a
D'où a + 20/a = 9 et b = 20/a
ce qui équivaut à a² - 9 a + 20 = 0 et b = 20/a
Δ = 81 - 80 = 1
(a = (9 - 1)/2 ou a = (9 + 1)/2) et b = 20/a
Ce qui équivaut à (a = 4 et b = 20/4 = 5) ou (a = 5 et b = 20/5 = 4)
On en déduit que X³ - 8X² + 11X + 20 = (X + 1) (X - 4) (X - 5)
Revenons maintenant à notre équation.
x√x - 8x + 11√x + 20 = 0 équivaut à X³ - 8X² + 11X + 20 = 0 avec X ≥ 0 (puisque X = √x)
Ce qui équivaut à X₁ = 4 ou X₂ = 5 (-1 n'étant pas une solution possible puisque X ≥ 0)
Soit x₁ = X₁² = 4² = 16 ou x₂ = X₂² = 5² = 25
L'ensemble des solutions de l'équation x√x - 8x + 11√x + 20 = 0 est donc {16 ; 25}
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Bonsoir
x√x - 8x + 11√x + 20 = 0
l'expression est défini ∀ x ≥ 0 car l'antécédent d'une racine carré est toujours positif.
x√x + 11√x = +8x - 20
√x ( x + 11 ) = +8x - 20
A gauche et à droite de l'expression on élève au carré :
(√x ( x + 11 ))² = (8x - 20)²
(√x)² ( x + 11 )² = (8x - 20)² pour tout x ≥ 0
x ( x + 11 )² = (8x - 20)²
x ( x² + 11² + 22x ) = ((8x)² + 20² - 2*20*8x)
x ( x² + 121 + 22x ) = (64x² + 400 - 320x)
x³ + 121x + 22x² = 64x² + 400 - 320x
x³ + 121x + 22x² - 64x² - 400 + 320x = 0
x³ - 42x² + 441x -400 = 0
Cherchons les solutions, posons x=1 :
1³ - 42*1² + 441*1 -400 = 0 donc x=1 est solution.
Effectuons une division euclidienne
x³ - 42x² + 441x -400 ║ x - 1
--------------------------------------------------
- (x³ - x²) ║ x² - 41x - 400
--------------------------------- ║
0 -41x² + 441x - 400 ║
- ( -41x² + 41x) ║
---------------------------------- ║
0 +400x - 400 ║
- ( - 400x + 400 ) ║
------------------------------------ ║
0 0
Donc x³ - 42x² + 441x -400 = 0 peut s'écrire :
(x² - 41x - 400) (x-1) = 0
x² - 41x - 400 possède 2 solutions (Tu passes par le delta)
x₁ = 16 et x₂ = 25
Vérifions les solutions de x√x - 8x + 11√x + 20 :
si x=1 alors 1√1 - 8*1 + 11√1 + 20 = 1 -8 + 11 + 20 = 24
x=1 n'est pas solution.
x=16 alors 16√16 - 8*16 + 11√16 + 20 = 16*4 -128 + 11 * 4 + 20 = 0
x=16 est solution et de même pour x=25
donc il existe 2 solutions x₁ = 16 et x₂ = 25
Bon courage