Resposta:

Para determinar o valor da expressão \(A = \frac{{(x - y)^2}}{{x + y}}\) com \(x = \sqrt{20}\) e \(y = \sqrt{45}\), primeiro vamos simplificar as raízes:

\(x = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\)

\(y = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)

Agora podemos substituir esses valores na expressão \(A\):

\(A = \frac{{(2\sqrt{5} - 3\sqrt{5})^2}}{{2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}}}\)

Simplificando o numerador:

\((2\sqrt{5} - 3\sqrt{5})^2 = (2 - 3)^2\cdot (\sqrt{5})^2 = (-1)^2 \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5\)

E simplificando o denominador:

\(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\)

Agora podemos dividir o numerador pelo denominador:

\(A = \frac{5}{5\sqrt{5}}\)

Para simplificar ainda mais, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por 5:

\(A = \frac{1}{\sqrt{5}}\)

Agora, para racionalizar o denominador, multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador por \(\sqrt{5}\):

\(A = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)

Portanto, o valor da expressão \(A\) na forma mais simples, racionalizada, é \(\frac{\sqrt{5}}{5}\).