1. Factoriser l'expression x²-3x - (3x+8)(2x-6).
Justifier que l'inéquation x²-3x ≤ (3x +8)(2x-6) est équivalente à l'inéquation (x-3)(-5x-16) ≤0.
Résoudre alors l'inéquation x²-3x ≤ (3x + 8)(2x-6).
Merci d'avance je comprend pas
Justifier que l'inéquation x²-3x ≤ (3x +8)(2x-6) est équivalente à l'inéquation (x-3)(-5x-16) ≤0.
Résoudre alors l'inéquation x²-3x ≤ (3x + 8)(2x-6).
Merci d'avance je comprend pas
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x² - 3x - (3x + 8)(2x - 6)
= x² - 3x - (6x² - 34x + 48) // développer la double distribution
= -5x² + 31x - 48
Ainsi, x²-3x - (3x+8)(2x-6) est équivalent à -5x² + 31x - 48.
Maintenant, pour justifier que l'inéquation x²-3x ≤ (3x+8)(2x-6) est équivalente à l'inéquation (x-3)(-5x-16) ≤ 0, on peut utiliser le fait que si a et b sont des réels, alors a*b ≤ 0 si et seulement si a et b ont des signes opposés ou au moins un des deux est nul.
On a donc :
x²-3x ≤ (3x+8)(2x-6)
-5x² + 31x - 48 ≤ 0 // en utilisant la factorisation trouvée précédemment
Pour résoudre -5x² + 31x - 48 ≤ 0, on peut utiliser la méthode des tableaux de signe :
| -5x² + 31x - 48 |
x | - |
x ≤ -3.2 | - - + |
-3.2 < x ≤ 9.6 | + - + |
x > 9.6 | + + + |
Ainsi, l'ensemble des solutions de l'inéquation est donné par l'intervalle [-3.2, 9.6].
Donc l'inéquation x²-3x ≤ (3x+8)(2x-6) est équivalente à (x-3)(-5x-16) ≤ 0, et l'ensemble des solutions est [-3.2, 9.6].