Forma polar/trigonométrica

Queremos deixar na formar trigonométrica o complexo [tex]\sf \dfrac{1}{1+i}[/tex]. Antes precisamos deixar o na forma a + bi, onde a e b são reais.

• Passo 1: Multiplique pelo conjugado o numerador e o denominador

[tex]\sf \dfrac{1}{1+i}~.~\dfrac{(1-i)}{(1-i)} =\dfrac{1-i}{1-i^2} = \dfrac{1-i}{2}=\bf \dfrac{1}{2} -\dfrac{i}{2}[/tex]

• Passo 2: Encontre o módulo do número complexo. Encontramos o módulo por meio da fórmula

[tex]\sf I~z~I=\sqrt{a^2+b^2}[/tex]

Temos a = 1/2 e b = -1/2, vamos substituir na fórmula e encontrar o módulo

[tex]\sf I~z~I=\sqrt{\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2+\Big( -\dfrac{1}{2} \Big)^2} =\sqrt{\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4} } =\sqrt{\dfrac{2}{4} } =\bf \dfrac{\sqrt{2} }{2}[/tex]

• Passo 3: Precisamos encontrar o argumento. E para encontrar o argumento usamos da seguinte relação

[tex]\sf cos~\theta=\dfrac{a}{r} ~~e~~sen~\theta=\dfrac{b}{r}[/tex]

O r é o módulo de z. Obtemos

[tex]\sf cos~\theta=\dfrac{\dfrac{1}{2} }{\dfrac{\sqrt{2} }{2} }=\dfrac{1}{\sqrt{2} }=\dfrac{\sqrt{2} }{2} \\ \\ \\\\ sen~\theta=\dfrac{-\dfrac{1}{2} }{\dfrac{\sqrt{2} }{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2} } =-\dfrac{\sqrt{2} }{2}[/tex]

Então nosso argumento será [tex]\theta=2\pi -\dfrac{\pi }{4} =\dfrac{7\pi }{2}[/tex].

• Passo 4: Encontramos tudo o que precisava, então é só substituir os valores na forma trigonométrica

[tex]\sf z=r(cos~\theta+i~sen~\theta)[/tex]

daí

[tex]\boxed{\bf z=\dfrac{\sqrt{2} }{2} \Big(cos\dfrac{7\pi }{4} +i.sen\dfrac{7\pi }{4} \Big)}~\checkmark[/tex]