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Assunto: Sequências de Números Reais Supondo [tex]a,b\geq 0[/tex], mostre que [tex](\sqrt[n]{a^n+b^n})\rightarrow max\{a,b\} .[/tex]
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Assunto: Sequências de número reais. Considere a sequência [tex]a_1=\sqrt{5}[/tex] e [tex]a_n=\sqrt{5+a_{n-1}}[/tex], para [tex]n\geq 2.[/tex] Mostre que [tex](a_n)[/tex] é convergente e encontre seu limite.
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Noções Topológicas: conjuntos fechados. Prove que os únicos subconjuntos de [tex]\mathbb{R}[/tex] que são simultaneamente abertos e fechados são [tex]\oslash[/tex] e [tex]\mathbb{R}[/tex].
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Assunto: Números ComplexosIdentifique o conjunto: Im ( z - i ) = Re ( z + 4 - 3i ).Obs: Não tenho gabarito. Quero a resposta pra justamente saber se bateu.
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Números complexos:[tex]z=2-2\sqrt{3}i[/tex] é solução da equação [tex]z^2=1-\sqrt{3}i[/tex]? Existe outras soluções? Se sim, mostre as outras soluções.z é um número complexo.
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Use a fórmula de De Moivre [tex](\sin(\theta) + i\cos(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)[/tex]para deduzir[tex]\cos(3\theta)= \cos^3(\theta)-3\cos(\theta)\sin^2(\theta)[/tex]​
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Faça o calculo de ( 2 + i )( 3 + i ) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{\pi }{4} =arctan(\frac{1}{2} )+arctan(\frac{1}{3})[/tex]
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Prove no corpo [tex]\mathbb{R}[/tex] dos números reais: Não existe um número racional n tal que n² = 6.
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Prove que se a < b, então [tex]a\ \textless \ \dfrac{1}{2} (a+b)\ \textless \ b[/tex].
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Mostre que: se a e b são números reais não negativos, então a < b ⇔ a² < b² ⇔ √a < √b.Obs:. Gostaria de comparar as repostas e também não tenho gabarito. Seja claro, quero aprender os passos da sua resolução, obrigado.
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Comprove as afirmações no corpo dos números reais: I) Se 0 ≤ a < μ, ∀ μ > 0, então a = 0. II) Se a - μ < b, ∀ μ > 0, então, a ≤ b. Obs:. Ser claro na resposta. Maneiras diferentes de demonstrações são bem-vindas. :)
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Assunto: Números complexosMostre que [tex]\dfrac{z}{z}=1~~;~~\dfrac{1}{1/z}=z~~;~~Im(iz)=R(z)[/tex], sendo [tex]z\neq 0[/tex], no primeiro e segundo caso.z é um número complexo.Exercícios para pesquisas futuras. Seja claro. :)
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Assunto: Números complexos Mostre que, se [tex]z_2\neq -z_3[/tex], então [tex]\biggm|\dfrac{z_1}{z_2+z_3} \biggm|\leq \dfrac{|z_1|}{||z_2|-|z_3||}[/tex]. Respostas com brincadeiras serão denunciadas.
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Assunto: Números complexos Mostre que [tex]|z_1+z_2|\ \textless \ |1+\bar z_1z_2|[/tex] desde que [tex]|z_1|\ \textless \ 1[/tex] e [tex]|z_2| \ \textless \ 1.[/tex] Respostas com brincadeiras serão denunciadas.
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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita] Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]\sf n^2\ \textless \ 2^n[/tex] para todo n natural, n > 4.
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Sejam [tex]f: A\rightarrow B[/tex] e [tex]g: B\rightarrow C[/tex] funções. Mostre que: Se [tex]f ~e~g[/tex] são injetoras, então [tex]g\circ f[/tex] é injetora. A demonstração é simples, mas seja claro na demonstração. ( Obs:. se for necessário usar o LaTeX. )
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Sejam [tex]f:A\rightarrow B[/tex] e [tex]g:B\rightarrow C[/tex] funções. Mostre que: Se [tex]f~e~g[/tex] são sobrejetora, então [tex]g o f[/tex] é sobrejetora. Obs:. Seja claro na demonstração.
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Demonstre que: Uma função [tex]f:A\rightarrow B[/tex] é invertível se, e somente se, [tex]f[/tex] é bijetora. Obs:. Seja claro na demonstração.
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Prove que: Todo subconjunto não vazio [tex]X\subseteq N[/tex] possui um menor elemento, isto é, existe [tex]x\in X[/tex] tal que [tex]x\leq y[/tex] para todo [tex]y\in X[/tex]. Obs:. Seja claro na demonstração.
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Prove que: [tex]n!\ \textgreater \ 2^n[/tex] para todo [tex]n\geq 4[/tex] natural. Obs:. A resolução é simples, mas seja claro. Maneiras diferentes de demonstrações são bem-vindos. Seja criativo!
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Mostre que o conjunto dos racionais [tex]Q[/tex] é enumerável.
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Deixe λ ser um número real fixado e sejam m,n ∈ N. Se [tex]\lambda\ \textgreater \ 1[/tex], mostre que [tex]\lambda^m\ \textgreater \ \lambda^n \Leftrightarrow m\ \textgreater \ n.[/tex]
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Mostre que [tex]\sum_{i=1}^na_kb_k\leq \frac{1}{2} [~\sum_{i=1}^na_k^2+\sum_{i=1}^nb_k^2~][/tex] e, como consequência, deduza a desigualdade elementar [tex]xy\leq \frac{1}{2} (x^2+y^2).[/tex]
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Se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são números reais, então [tex]2ab\leq a^2+b^2;[/tex] se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] forem não negativos, então [tex]\sqrt{ab} \leq \dfrac{1}{2} (a+b)[/tex] e ocorre a igualdade se, e somente se, [tex]a=b[/tex].
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