Utilizando do Princípio da Indução Finita, concluímos que de fato a igualdade "1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n(n + 1)/2]²" é válida [tex]\sf \forall n \in \mathbb{N}\:\:[/tex]; n ≥ 1.
Princípio da Indução Finita:
Este é um eficiente instrumento utilizado para a demonstração de fatos referentes aos naturais. Ele é baseado em um dos axiomasdePeano, o qual diz "Se um subconjunto [tex]\mathbb{X} \subset \mathbb{N}[/tex] é tal que [tex]\sf 1 \in \mathbb{N}[/tex] e s(x) [tex]\sf \subset \mathbb{X}[/tex] (isto é, [tex]\sf n \in \mathbb{X} ~\Longrightarrow ~[/tex] s(n) [tex]\in \mathbb{X}[/tex]), então [tex]\mathbb{X} = \mathbb{N}[/tex]".
Resolvendo a questão proposta:
O objetivo é mostrar, por indução finita, para todo [tex]\sf n \in \mathbb{N}[/tex]; n ≥ 1, que a seguinte propriedade P(n) é válida:
Agora, recorremos ao caso base, o qual consiste em mostrar que a propriedade P(n) é válida para o menordoscasos, em que no caso em questão, temos n = 1:
Veja que a igualdade em (iii) é válida, portanto, o caso base também é válido.
Hipótese de Indução (H.I):
Para a hipótese de indução, devemos supor que a propriedade é válida para algum k genérico, que está sob as condições iniciais de [tex]\sf k \in \mathbb{N}[/tex]; k ≥ 1.
Se a propriedade for realmente válida para tal P(k) conforme a hipótese, como consequência imediata a partir dela, devemos ter que P(k + 1) também é válida, ou seja, deve subsistir a implicação P(k) ⇒ P(k + 1):
Veja que o polinômio (k² + 4k + 4) é um trinômio quadrado perfeito, cujo pode ser reescrito como um produto notável do quadrado da soma "(a + b)² = a² + 2ab + b²", este tal produto notável é (k + 2)², que ao substituir na expressão, obtemos, por fim:
Observe que, lá no começo do passo indutivo, tínhamos uma expressão a ser obtida, que era P(k + 1), cuja precisava ser obtida a partir de P(k), observe que foi isso que fizemos agora, a partir de P(k), obtemos P(k + 1). O que conclui a demonstração.
Então, pelo Princípio da Indução Finita, temos que:
⇒ Se existe uma propriedade P(n) tal que o menor dos casos (n = 1) é válido;
⇒ E subsiste a implicação, para algum n ≥ 1 natural genérico, em que devemos ter P(n) ⇒ P(n + 1);
⇒ Então a propriedade é válida ∀n ∈ [tex]\mathbb{N}[/tex]; n ≥ 1.
Lista de comentários
Utilizando do Princípio da Indução Finita, concluímos que de fato a igualdade "1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n(n + 1)/2]²" é válida [tex]\sf \forall n \in \mathbb{N}\:\:[/tex]; n ≥ 1.
Princípio da Indução Finita:
Resolvendo a questão proposta:
O objetivo é mostrar, por indução finita, para todo [tex]\sf n \in \mathbb{N}[/tex]; n ≥ 1, que a seguinte propriedade P(n) é válida:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ P\left(n\right): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left[\dfrac{n\cdot\left(n + 1\right)}{2}\right]^2 ~~~~\left(i\right)}$}[/tex]
Primeiramente, antes da demonstração, deixaremos a propriedade mais clara reduzindo a potência no lado direito da equação:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ P\left(n\right): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left[\dfrac{n\cdot\left(n + 1\right)}{2}\right]^2 }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ P\left(n\right): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \dfrac{n^2\cdot\left(n + 1\right)^2}{4} ~~~~\left(ii\right)}$}[/tex]
Será feita indução sobre n para (ii).
Agora, recorremos ao caso base, o qual consiste em mostrar que a propriedade P(n) é válida para o menor dos casos, em que no caso em questão, temos n = 1:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ P\left(n\right): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \dfrac{n^2\cdot\left(n + 1\right)^2}{4} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ P\left(1\right): ~~1^3 = \dfrac{1^2\cdot\left(1 + 1\right)^2}{4} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ P\left(1\right): ~~1 = \dfrac{1\cdot2^2}{4} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ P\left(1\right): ~~1 = \dfrac{1\cdot4}{4} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ P\left(1\right): ~~1 = \dfrac{1\cdot\slash\!\!\!4}{\slash\!\!\!4} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ P\left(1\right): ~~1 = 1 ~\checkmark~~~~\left(iii\right) }$}[/tex]
Veja que a igualdade em (iii) é válida, portanto, o caso base também é válido.
Para a hipótese de indução, devemos supor que a propriedade é válida para algum k genérico, que está sob as condições iniciais de [tex]\sf k \in \mathbb{N}[/tex]; k ≥ 1.
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ P\left(n\right): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \dfrac{n^2\cdot\left(n + 1\right)^2}{4} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ P\left(k\right): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \dfrac{k^2\cdot\left(k + 1\right)^2}{4} ~~~~\left(iv\right)}$}[/tex]
Se a propriedade for realmente válida para tal P(k) conforme a hipótese, como consequência imediata a partir dela, devemos ter que P(k + 1) também é válida, ou seja, deve subsistir a implicação P(k) ⇒ P(k + 1):
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ P\left(k\right): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \dfrac{k^2\cdot\left(k + 1\right)^2}{4} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow P\left(k + 1\right): 1^3 + ... + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{\left(k + 1\right)^2\cdot\left(k + 2\right)^2}{4} }$}[/tex]
[Demonstração:]
Para demonstrar que essa implicação é realmente válida, partimos da H.I (Hipótese de Indução) em (iv):
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \dfrac{k^2\cdot\left(k + 1\right)^2}{4} }$}[/tex]
Ao somar (k + 1)³ em ambos os lados da equação, :
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \dfrac{k^2\cdot\left(k + 1\right)^2}{4} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{k^2\cdot\left(k + 1\right)^2}{4} + \left(k + 1\right)^3}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow 1^3 + ... + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{k^2\cdot\left(k + 1\right)^2}{4} + \dfrac{4\left(k + 1\right)^3}{4}}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow 1^3 + ... + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{k^2\cdot\left(k + 1\right)^2 + 4\left(k + 1\right)^3}{4} }$}[/tex]
Coloque o fator comum (k + 1)² em evidência, no lado direito da equação:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow 1^3 + ... + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{k^2\cdot\left(k + 1\right)^2 + 4\left(k + 1\right)^3}{4} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow 1^3 + ... + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{\left(k + 1\right)^2 \cdot \left[k^2 + 4\left(k + 1\right)\right]}{4} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow 1^3 + ... + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{\left(k + 1\right)^2 \cdot \left(k^2 + 4k + 4\right)}{4} }$}[/tex]
Veja que o polinômio (k² + 4k + 4) é um trinômio quadrado perfeito, cujo pode ser reescrito como um produto notável do quadrado da soma "(a + b)² = a² + 2ab + b²", este tal produto notável é (k + 2)², que ao substituir na expressão, obtemos, por fim:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow 1^3 + ... + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{\left(k + 1\right)^2 \cdot \left(k^2 + 4k + 4\right)}{4} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow 1^3 + ... + k^3 + \left(k + 1\right)^3 = \dfrac{\left(k + 1\right)^2 \cdot \left(k + 2\right)^2}{4}~~~~\left(v\right) }$}[/tex]
Observe que, lá no começo do passo indutivo, tínhamos uma expressão a ser obtida, que era P(k + 1), cuja precisava ser obtida a partir de P(k), observe que foi isso que fizemos agora, a partir de P(k), obtemos P(k + 1). O que conclui a demonstração.
Então, pelo Princípio da Indução Finita, temos que:
⇒ Se existe uma propriedade P(n) tal que o menor dos casos (n = 1) é válido;
⇒ E subsiste a implicação, para algum n ≥ 1 natural genérico, em que devemos ter P(n) ⇒ P(n + 1);
⇒ Então a propriedade é válida ∀n ∈ [tex]\mathbb{N}[/tex]; n ≥ 1.
Conforme queríamos demonstrar! :D
Dúvidas? Comente.
Bons estudos.
Espero ter ajudado❤.
Veja mais sobre Princípio da Indução Finita:
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