Une urne contient n boules noires, 10 boules rouges et 20 boules blanches. On prélève une boule au hasard dans l'urne et on note sa couleur. Toutes les boules ont la même probabilité d'être prélevées.
On considère les événements suivants:
• N "La boule prélevée est noire".
• R "La boule prélevée est rouge".
• B "La boule prélevée est blanche".
1/ Dans cette question, on suppose que n=40. Calculer P(N), P(R) et P(B).
Dans la suite, la lettre n désigne un entier naturel quelconque.
2/ Exprimer en fonction de n, le nombre total de boules dans l'urne, puis les probabilités P(N), P(R) et P(B).
3/ a) Calculer n pour que (N)=1/3
b) Est-il possible d'avoir P(N) >= 0,99? Si non, pourquoi? Si oui, à partir de quelle valeurs de n?
4/ On prélève maintenant deux boules de l'urne en remettant dans l'urne la première boule avant de prélever la deuxième. On note M l’événement "Les deux boules sont noires".
a) Quel est, en fonction de n, le nombre d'issues de cette nouvelle expérience aléatoire?
b) Exprimer P(M) en fonction de n.
c) Combien de boules noires faut'il au moins dans l'urne pour qu'on ait P(M) >= 1/2?
Je suis bloqué aux questions 4. Merci de votre aide.
On considère les événements suivants:
• N "La boule prélevée est noire".
• R "La boule prélevée est rouge".
• B "La boule prélevée est blanche".
1/ Dans cette question, on suppose que n=40. Calculer P(N), P(R) et P(B).
Dans la suite, la lettre n désigne un entier naturel quelconque.
2/ Exprimer en fonction de n, le nombre total de boules dans l'urne, puis les probabilités P(N), P(R) et P(B).
3/ a) Calculer n pour que (N)=1/3
b) Est-il possible d'avoir P(N) >= 0,99? Si non, pourquoi? Si oui, à partir de quelle valeurs de n?
4/ On prélève maintenant deux boules de l'urne en remettant dans l'urne la première boule avant de prélever la deuxième. On note M l’événement "Les deux boules sont noires".
a) Quel est, en fonction de n, le nombre d'issues de cette nouvelle expérience aléatoire?
b) Exprimer P(M) en fonction de n.
c) Combien de boules noires faut'il au moins dans l'urne pour qu'on ait P(M) >= 1/2?
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Bonjour,p(N) = n/(n+30)
p(R) = 10/(n+30)
p(B) = 20/(n+30)
On prélève successivement 2 boules avec remise.
M "Les 2 boules sont noires"
a) issues possibles : l'ordre de tirage n'a pas d'importance
N et N n/(n+30) x n/(n+30)
N et R n/(n+30) x 10/(n+30)
N et B n/(n+30) x 20/(n+30)
B et B 20/(n+30) x 20/(n+30)
B et R 20/(n+30) x 10/(n+30)
R et R 10/(n+30) x 10/(n+30)
donc 6 issues possibles
b) p(M) = n²/(n+30)²
c) p(M) ≥ 1/2
⇔ n²/(n+30)² ≥ 1/2
⇔ 2n² ≥ (n+30)²
⇔ n² - 60n - 900 ≥ 0
Δ = (60)² - 4x(-900) = 7200 = 2x60²
donc 2 racines :
n₁ = (60 - 60√2)/2 < 0 donc éliminée
n₂ = (60 + 60√2)/2 = 30(1 + √2) = environ 72,4
Donc il faut n ≥ 73