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Bonjour,

1)c) f(x) = 2 + 3/(x + 1)

⇒ f(x) - 2 = 3/(x + 1)

3/(x + 1) > 0 ⇒ (x + 1) > 0 ⇔ x > - 1

et 3/(x + 1) < ε avec ε > 0 ⇒ 3 < ε(x + 1)    (car (x + 1) > 0)

⇔ 3/ε < x + 1 ⇔ x > 3/ε - 1

Donc on a : 0 < f(x) - 2 < ε pour x > 3/ε - 1

En choisissant ε très petit, soit ε → 0+, on a donc :

0 < f(x) - 2 < ε    ⇒ x = 3/ε - 1 ⇒ x → +∞

on a alors : 0 < lim (f(x) - 2) < ε

Et donc on en déduit : 2 < lim f(x) < 2 + ε

f tend donc vers 2 quand x tend vers +∞