2. No interior de um tubo, em forma de um cilindro circular reto, de altura h = 30 cm e raio da base r = 3 cm, coloca-se o maior número possível de esferas, que tangenciam as paredes do tubo, conforme a figura abaixo. O volume interior de cilindro e exterior às esferas, em cm3, é:
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Resposta:
o volume interior do cilindro e exterior às esferas é -630π cm³.
Explicação passo-a-passo:
Para determinar o volume interior do cilindro e exterior às esferas, precisamos encontrar o volume do cilindro e subtrair o volume das esferas.
O volume de um cilindro é dado por V = πr^2h, onde r é o raio da base e h é a altura. Substituindo os valores, temos:
V_cilindro = π(3^2)(30) = 270π cm³
Agora, vamos encontrar o volume de uma esfera. O volume de uma esfera é dado por V = (4/3)πr^3. O raio das esferas é igual ao raio da base do cilindro, que é 3 cm.
V_esfera = (4/3)π(3^3) = 36π cm³
Agora, vamos determinar quantas esferas cabem no cilindro. Podemos organizar as esferas em uma camada em que elas se tocam lateralmente. O número de esferas em uma camada é igual à largura do cilindro dividido pelo diâmetro de uma esfera.
A largura do cilindro é igual ao diâmetro de uma esfera, que é 6 cm. Portanto, o número de esferas em uma camada é 30/6 = 5.
Agora, vamos determinar o número total de esferas. Podemos empilhar as camadas, sendo que o número de camadas é igual à altura do cilindro dividido pelo diâmetro de uma esfera. A altura do cilindro é 30 cm.
O diâmetro de uma esfera é igual ao raio vezes 2, ou seja, 3 cm x 2 = 6 cm. Portanto, o número de camadas é 30/6 = 5.
O número total de esferas é 5 camadas x 5 esferas por camada = 25 esferas.
Agora, vamos calcular o volume total das esferas:
V_total_esferas = 25 esferas x 36π cm³ = 900π cm³
Finalmente, vamos calcular o volume interior do cilindro e exterior às esferas:
V_interior = V_cilindro - V_total_esferas = 270π cm³ - 900π cm³ = -630π cm³