Réponse :

Explications étape par étape :

Pour démontrer que, pour tout n appartenant à N (l'ensemble des nombres naturels), la somme Sn = U0 + U1 + ... + Un est donnée par la formule Sn = (n + 1)(U0 + Un) / 2, nous allons utiliser la méthode de démonstration par récurrence. Voici les étapes de la démonstration :

Étape 1 : Démonstration de la formule pour n = 0

Pour n = 0, la formule devient S0 = (0 + 1)(U0 + U0) / 2 = U0, ce qui est vrai puisque U0 est donné comme U0 = 2.

Étape 2 : Hypothèse de récurrence

Supposons que la formule Sn = (n + 1)(U0 + Un) / 2 soit vraie pour un certain k, c'est-à-dire que Sk = (k + 1)(U0 + Uk) / 2.

Étape 3 : Démonstration pour n = k + 1

Nous devons maintenant montrer que la formule est vraie pour n = k + 1. Cela signifie que nous devons montrer que S(k + 1) = ((k + 1) + 1)(U0 + U(k + 1)) / 2.

Utilisons l'hypothèse de récurrence pour écrire Sk en utilisant la formule que nous avons supposée vraie :

Sk = (k + 1)(U0 + Uk) / 2

Maintenant, ajoutons U(k + 1) des deux côtés :

Sk + U(k + 1) = (k + 1)(U0 + Uk) / 2 + U(k + 1)

Maintenant, multiplions des deux côtés par (k + 2) / 2 :

((k + 2) / 2)(Sk + U(k + 1)) = ((k + 2) / 2)((k + 1)(U0 + Uk) / 2 + U(k + 1))