Réponse :

Explications étape par étape :

Pour montrer que, pour tout n ∈ N, pour tout a ∈ ]0;1[, si n ≥ 2, alors (1 - a)^n ≥ 1 - na, nous pouvons utiliser une preuve par récurrence.

Étape 1 - Cas de base : Vérifions que la proposition est vraie pour n = 2.

(1 - a)^2 = 1 - 2a + a^2.

D'autre part, 1 - 2a = 1 - 2a.

Ainsi, pour n = 2, (1 - a)^n ≥ 1 - na est vérifié.

Étape 2 - Hypothèse de récurrence : Supposons que la proposition soit vraie pour un certain n = k, c'est-à-dire que (1 - a)^k ≥ 1 - ka.

Étape 3 - Étape de récurrence : Montrons que la proposition est également vraie pour n = k + 1.

Nous devons montrer que (1 - a)^(k+1) ≥ 1 - (k+1)a.

Développons (1 - a)^(k+1) en utilisant la formule du binôme de Newton :

(1 - a)^(k+1) = (1 - a)^k * (1 - a).

Par l'hypothèse de récurrence, nous savons que (1 - a)^k ≥ 1 - ka, donc :

(1 - a)^k * (1 - a) ≥ (1 - ka) * (1 - a).

Développons le côté droit :

(1 - ka) * (1 - a) = 1 - ka - a + ka^2.

Maintenant, examinons (1 - a)^(k+1) :

(1 - a)^(k+1) = (1 - a)^k * (1 - a) ≥ (1 - ka) * (1 - a).

Nous avons montré que (1 - a)^(k+1) ≥ (1 - ka) * (1 - a). Maintenant, simplifions le côté droit :

(1 - ka) * (1 - a) = 1 - ka - a + ka^2.

Maintenant, nous voulons montrer que cela est supérieur ou égal à 1 - (k+1)a. Pour ce faire, commençons par soustraire (k+1)a des deux côtés :

1 - ka - a + ka^2 ≥ 1 - (k+1)a.

1 - ka - a + ka^2 - 1 + (k+1)a ≥ 0.

(k+1)a^2 - ka ≥ 0.

a(k+1)(a - 1) ≥ 0.

Pour a ∈ ]0;1[, nous avons a > 0 et a - 1 < 0, donc le produit est négatif ou nul. Par conséquent, (k+1)a^2 - ka ≥ 0.

Cela conclut la preuve par récurrence, montrant que si la proposition est vraie pour n = k, alors elle est également vraie pour n = k + 1.

Conclusion : Par le principe de récurrence, nous avons montré que, pour tout n ∈ N, pour tout a ∈ ]0;1[, si n ≥ 2, alors (1 - a)^n ≥ 1 - na.