A) f(x)=2x²-√x ; Df=[0;+∞[ f'(x)=4x-1/(2√x)=(8x√x-1)/(2√x) f'(x)=0 si 8x√x=1 donc x=(1/8)^(2/3)=1/4 f'(x)>0 si 8x√x>1 donc x>1/4 donc f est décroissante sur [0;1/4] et croissante sur [1/4;+∞[ lim(f(x),+∞)=+∞
b) f(x)=x/(√x-1) ; Df=[0;1[ ∪ ]1;+∞[ f'(x)=(√x-1-x/(2√x))/(√x-1)²=(2x-2√x-x)/(2√x(√x-1)²)=(x-2√x)/(2√x(√x-1)²) f'(x)=0 si x-2√x=0 donc x=4 f'(x)>0 si x-2√x>0 donc x>4 donc f est décroissante sur [0;1[ et sur ]1;4] et f est croissante sur [4;+∞[ lim(f(x),1-)=-∞ ; lim(f(x),1+)=+∞ ; lim(f(x),+∞)=+∞
c) f(x)=(x^4-x²)/(x²+1) ; Df=IR f'(x)=((4x³-2x)(x²+1)-2x(x^4-x²))/(x²+1)²=(2x^5+4x³-2x)/(x²+1)² f'(x)=0 si (2x)(x^4+2x²-1)=0 donc x=0 ou x=√(√2-1) ou x=-√(√2-1) f'(x)>0 si (2x)(x^4+2x²-1)>0 donc -√(√2-1)<x<0 ou x>√(√2-1) donc f est décroissante sur ]-∞;-√(√2-1)] et sur [0;√(√2-1)] et f est croissante sur [-√(√2-1);0] et sur [√(√2-1);+∞[ lim(f(x),-∞)=+∞ et lim(f(x),+∞)=+∞
d) f(x)=x√(x²-1) ; Df=]-∞;-1] ∪ [1;+∞[ f'(x)=√(x²-1)+x(2x)/(2√(x²-1))=(2x²-1)/(√(x²-1)) f'(x)=0 si 2x²-1=0 donc x=-√2/2 ou x=√2/2 f'(x)>0 si 2x²-1>0 donc x<-√2/2 ou x>√2/2 donc f est croissante sur ]-∞;-1] et sur [1;+∞[ lim(f(x),-∞)=-∞ et lim(f(x),+∞)=+∞
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A) f(x)=2x²-√x ; Df=[0;+∞[f'(x)=4x-1/(2√x)=(8x√x-1)/(2√x)
f'(x)=0 si 8x√x=1 donc x=(1/8)^(2/3)=1/4
f'(x)>0 si 8x√x>1 donc x>1/4
donc f est décroissante sur [0;1/4] et croissante sur [1/4;+∞[
lim(f(x),+∞)=+∞
b) f(x)=x/(√x-1) ; Df=[0;1[ ∪ ]1;+∞[
f'(x)=(√x-1-x/(2√x))/(√x-1)²=(2x-2√x-x)/(2√x(√x-1)²)=(x-2√x)/(2√x(√x-1)²)
f'(x)=0 si x-2√x=0 donc x=4
f'(x)>0 si x-2√x>0 donc x>4
donc f est décroissante sur [0;1[ et sur ]1;4] et f est croissante sur [4;+∞[
lim(f(x),1-)=-∞ ; lim(f(x),1+)=+∞ ; lim(f(x),+∞)=+∞
c) f(x)=(x^4-x²)/(x²+1) ; Df=IR
f'(x)=((4x³-2x)(x²+1)-2x(x^4-x²))/(x²+1)²=(2x^5+4x³-2x)/(x²+1)²
f'(x)=0 si (2x)(x^4+2x²-1)=0 donc x=0 ou x=√(√2-1) ou x=-√(√2-1)
f'(x)>0 si (2x)(x^4+2x²-1)>0 donc -√(√2-1)<x<0 ou x>√(√2-1)
donc f est décroissante sur ]-∞;-√(√2-1)] et sur [0;√(√2-1)]
et f est croissante sur [-√(√2-1);0] et sur [√(√2-1);+∞[
lim(f(x),-∞)=+∞ et lim(f(x),+∞)=+∞
d) f(x)=x√(x²-1) ; Df=]-∞;-1] ∪ [1;+∞[
f'(x)=√(x²-1)+x(2x)/(2√(x²-1))=(2x²-1)/(√(x²-1))
f'(x)=0 si 2x²-1=0 donc x=-√2/2 ou x=√2/2
f'(x)>0 si 2x²-1>0 donc x<-√2/2 ou x>√2/2
donc f est croissante sur ]-∞;-1] et sur [1;+∞[
lim(f(x),-∞)=-∞ et lim(f(x),+∞)=+∞