Bonjour;

[r ; Ф] + [r' ; Ф'] = [r" ; Ф"] .

On calcule tout d'abord r" .

On a : [r ; Ф] = r(cos(Ф) + i sin(Ф)) = rcos(Ф) + i r sin(Ф)

et [r' ; Ф'] = r'(cos(Ф') + i sin(Ф')) = r'cos(Ф') + i r' sin(Ф') ;

donc : [r" ; Ф"] = [r ; Ф] + [r' ; Ф']

= rcos(Ф) + i r sin(Ф) + r'cos(Ф') + i r' sin(Ф')

= (rcos(Ф) + r'cos(Ф')) + i(rsin(Ф) + r'sin(Ф')) ;

donc : r"² = (rcos(Ф) + r'cos(Ф'))² + (rsin(Ф) + r'sin(Ф'))²

= r² cos²(Ф) + r'² cos²(Ф') + 2rr'  cos(Ф)cos(Ф')

+ r² sin²(Ф) + r'² sin²(Ф') + 2rr'  sin(Ф)sin(Ф')

= r² + r'² + 2rr'  (cos(Ф)cos(Ф') + sin(Ф)sin(Ф'))

= r² + r'² + 2rr'  cos(Ф - Ф') ;

donc : r" = √(r² + r'² + 2rr'  cos(Ф - Ф')) .

On a donc :

[r" ; Ф"] = (rcos(Ф) + r'cos(Ф')) + i(rsin(Ф) + r'sin(Ф'))

= r"(cos(Ф") + i sin(Ф")) ;

donc : tan(Ф") = (rsin(Ф) + r'sin(Ф'))/(rcos(Ф) + r'cos(Ф')) ;

donc : Ф" = atan((rsin(Ф) + r'sin(Ф'))/(rcos(Ф) + r'cos(Ф'))) .