Réponse :

Explications étape par étape

2)c)  M=aI+bJ      N=cI+dJ    

MN=acI² +adJ  + bcIJ + bdJ²  = acI   +(ad+bc)J     car  J²  =  0

    NM=caI² +cbJ  + daIJ + dbJ²  = acI   +(ad+bc)J    

oui   l'anneau est commutatif

d)  non  car  J² = 0

3)  M est  inversible     s'il exist e   N (inverse )   tel que MN=I  

donc       ac = 1            et     ad+bc= 0

nécessairement    a≠0          alors    c= 1/a             ad + b/a  =  0        d = -b/a²  

M inversible  ssi   a≠0

4)par récurrence

c'est vrai   pour  n= 1

supposons  vrai   pour  n     posons   c=a^n      d=n*a^(n-1)*b

MN = ac I   +(ad+bc)J     = a^(n+1)  I    +  ( an*a^(n-1)*b +b*a^n)  

=  a^(n+1)  I    +  ( n*a^(n)*b +b*a^n)  

=  a^(n+1)  I    +  ( n+1)*a^(n)*b              vrai  pour  n+1

5) la premiere coordonnée  est  

x=a+a²+...a^n

la deuxieme  

y= b + 2ab+3a²b+.....n*a^(n-1)b

=b( 1+2a+3a²+...+n*a^(n-1))