On peut calculer la longueur m de la médiane issue de A dans un triangle ABC grâce à la formule ;
m = 1/2√2b²+2c²-a²
où a = BC
b = AC
c = AB
a) Vérifier cette formule pour le triangle ABC avec a = 5cm, b = 4cm et c = 3cm.
Le résultat était-t-il prévisible ?
b) Appliquer cette formule dans un triangle pour lequel a = 7cm ; b = 5cm ; c = 4 cm
Comment peut-on vérifier la vraisemblance du résultat obtenu ?
m = 1/2√2b²+2c²-a²
où a = BC
b = AC
c = AB
a) Vérifier cette formule pour le triangle ABC avec a = 5cm, b = 4cm et c = 3cm.
Le résultat était-t-il prévisible ?
b) Appliquer cette formule dans un triangle pour lequel a = 7cm ; b = 5cm ; c = 4 cm
Comment peut-on vérifier la vraisemblance du résultat obtenu ?
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a)
La médiane mesure 2,5 cm.
Le résultat était prévisible.
En effet,
Le triangle ABC est rectangle en A car BC² = a² = 5² = 25
et AB² + AC² = c² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
BC² = AB² + AC².
La relation de Pythagore dans un triangle rectangle est vérifiée.
Or si un triangle rectangle est inscrit dans un cercle, alors la longueur de la médiane est égale au rayon de ce cercle.
Le rayon de ce cercle étant la moitié de l'hypoténuse, soit (1/2)*BC = (1/2)*a = 5/2 = 2,5, nous en déduisons que la médiane a une longueur égale à 2,5 cm.
b)
La médiane mesure environ 2,9 cm.
Le résultat est vraisemblable car le triangle ABC est "presque" rectangle en A
car AB² + AC² = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
Si le triangle était rectangle en A, nous aurions une hypoténuse BC = √41 ≈ 6,4, valeur proche de c = 7.
La médiane aurait alors une longueur égale à (1/2) * 6,4 = 3,2 cm (en utilisant le théorème rappelé dans le point précédent)
Comme la médiane mesure 2,9 cm, nous sommes proches de 3,2 cm.
Donc résultat plausible.