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[tex]x+y = 8\\(x+y)^2 = 8^2\\x^2 + 2xy + y^2 = 64\\x^2 + 2xy + y^2 + 4xy = 64 + 4xy[/tex]

Conforme o enunciado, [tex]xy = 15[/tex], então [tex]4xy = 60[/tex]. Substituirei o valor numérico somente do lado direito:

[tex]x^2 + 2xy + y^2 + 4xy = 64 + 60\\\\\boxed{\boxed{x^2 + 6xy + y^2 = 124}}[/tex]

[tex]\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\bold{ITEM\:C}}}}}}}}}[/tex]

Resposta:

O valor de "x² + 6xy + y²" é igual a 124.

A alternativa correta é a alternativa C.

Por favor, acompanhar a Explicação.

Explicação passo-a-passo:

A Tarefa nos apresenta duas equações:

[tex](I):~x+y=8\\(II):~xy=15[/tex]

Para a resolução da Tarefa, será utilizado o conhecimento do produto notável que representa o quadrado da soma:

• Dados dois números "a" e "b", o resultado do quadrado de sua soma será:

[tex]{(a + b)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2} [/tex]

Assim, vamos elevar todos os termos da Equação (I) ao quadrado:

[tex](I):~x+y=8 \\ {(x + y)}^{2} = {(8)}^{2} [/tex]

Agora, façamos o desenvolvimento do produto notável (x + y)²:

[tex]{(x + y)}^{2} = {(8)}^{2} \\ {x}^{2} + 2xy + {y}^{2} = 64 \\ (III):~ {x}^{2} + 2xy + {y}^{2} = 64[/tex]

Comparando-se a Equação (III) com a equação cujo resultado desejamos determinar, x² + 6xy + y², teremos:

[tex](III):~{x}^{2} + 2xy + {y}^{2} = 64 \\ {x}^{2} + 6xy + {y}^{2} = ?[/tex]

Seguiremos na resolução da Tarefa:

[tex]{x}^{2} + 6xy +{y}^{2} = \\{x}^{2} + 2xy + 4xy +{y}^{2} =\\{x}^{2} + 2xy + {y}^{2} + 4xy = \\ 64 + 4xy = [/tex]

Através da Equação (II), sabemos que o valor do produto "xy" é igual a 15. Portanto:

[tex]64 + 4xy = \\ 64 + 4.(15) = \\ 64 + 60 = \\ 124[/tex]

Logo, o valor de "x² + 6xy + y²" é igual a 124.

A alternativa correta é a alternativa C.