2.7 Foi solicitado a um grupo de estudantes que elaborassem alguns desafios para o site do grêmio. Como Alice elaborou 3, Matheus elaborou 4 e Gabriel elaborou 5, o responsável pelo site pediu que cada um deles escolhesse dois dos seus desafios. Considere os desafios elaborados por Alice como A₁, A, e A₂; os elaborados por Matheus como M₁, M₂, M₂ e M, e os elaborados por Gabriel como G₁, G₂, G₂, G₁ e G. • Descreva todos os agrupamentos possíveis para escolha de Alice, de Matheus e de Gabriel na escolha de seus desafios. • Se usarmos o Princípio Multiplicativo, sem restrições, o que acontece?
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Utilizando a fórmula da combinação descobrimos que são 3 agrupamentos possíveis de 2 desafios de Alice, 6 agrupamentos de 2 desafios de Matheus e 10 agrupamentos de 2 desafios de Gabriel. Concluímos ainda que o Princípio Multiplicativo não é adequado para este tipo de questão de análise combinatória.
Utilizando a fórmula da Combinação
Este é um exercício de análise combinatória. O número de agrupamentos possíveis de desafios elaborados por cada aluno pode ser obtido através do uso da combinação, cuja fórmula é:
Cn,p = n!/[p!(n-p)!], onde n representa o número total de desafios e p representa o número de elementos que estão sendo levados em conta.
Começaremos pelos desafios elaborados por Alice. Note que ela elaborou 3 desafios, dos quais tomaremos 2. Logo:
C₃,₂ = 3!/2!(3-2)!
C₃,₂ = 3 × 2!/2! × 1! (aqui podemos eliminar os 2!)
C₃,₂ = 3
Descobrimos assim que são 3 agrupamentos possíveis para os desafios de Alice, sendo eles:
A₁ e A₂; A₁ e A₃; A₂ e A₃
Agora os desafios elaborados por Matheus. Temos um total de 4 desafios, dos quais tomaremos 2. Então:
C₄,₂ = 4!/2!(4-2)!
C₄,₂ = 4 × 3 × 2!/2! × 2! (aqui eliminamos o 2! do numerador e um 2! do denominador)
C₄,₂ = 4 × 3/2 × 1
C₄,₂ = 12/2
C₄,₂ = 6
Descobrimos que 6 é o total de agrupamentos possíveis para os desafios de Matheus, sendo eles:
M₁ e M₂; M₁ e M₃; M₁ e M₄; M₂ e M₃; M₂ e M₄; M₃ e M₄
Agora os desafios elaborados por Gabriel. Temos um total de 5 desafios, dos quais tomaremos 2. Logo:
C₅,₂ = 5!/2!(5-2)!
C₅,₂ = 5 × 4 × 3!/2! × 3! (aqui eliminamos os 3!)
C₅,₂ = 5 × 4/2 × 1
C₅,₂ = 20/2
C₅,₂ = 10
Concluímos assim que 10 são os agrupamentos possíveis de 2 desafios de Gabriel, sendo eles:
G₁ e G₂; G₁ e G₃; G₁ e G₄; G₁ e G₅; G₂ e G₃; G₂ e G₄; G₂ e G₅; G₃ e G₄; G₃ e G₅; G₄ e G₅
Assim, concluímos que 3 são os agrupamentos possíveis de dois desafios de Alice, 6 agrupamentos possíveis de desafios de Matheus e 10 agrupamentos possíveis de desafios de Gabriel.
Analisando a resolução acima, podemos ver que a aplicação do Princípio Multiplicativo sem restrição resultaria em valores muito maiores, não sendo adequado para a resolução deste tipo de problema. Este princípio pode ser aplicado em situações onde a ordem dos elementos é importante, como ocorre em problemas que podem ser resolvidos através do arranjo.
A combinação, por sua vez, é utilizada quando a ordem dos elementos não é considerada.
Você pode continuar estudando sobre combinação e análise combinatória aqui: https://brainly.com.br/tarefa/7612750
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