Bonjour pouvez-vous m'aider pour cet exercice sur la fonction exponentielle, merci d'avance !! Ps la courbe est donnée ci-joint.
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe C ci-contre représente une fonction f définie sur ℝ .
On a tracé la tangente T à la courbe C au point A(0 ; − 4)
On désigne par f ′ la fonction dérivée de f.
1. a) Donner, par lecture graphique, la valeur de f (0) .
b) Déterminer la valeur de f ′ (0) .
2. a) On admet qu’il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x,
f(x)=(ax+b)e^(0,5 x) .
Vérifier que pour tout réel x, f ′ ( x)= 1/2(ax+2 a+b)e^(0,5 x) .
b) Utiliser les résultats précédents pour déterminer les valeurs exactes des réels a et b.
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe C ci-contre représente une fonction f définie sur ℝ .
On a tracé la tangente T à la courbe C au point A(0 ; − 4)
On désigne par f ′ la fonction dérivée de f.
1. a) Donner, par lecture graphique, la valeur de f (0) .
b) Déterminer la valeur de f ′ (0) .
2. a) On admet qu’il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x,
f(x)=(ax+b)e^(0,5 x) .
Vérifier que pour tout réel x, f ′ ( x)= 1/2(ax+2 a+b)e^(0,5 x) .
b) Utiliser les résultats précédents pour déterminer les valeurs exactes des réels a et b.
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Réponse :
Explications étape par étape :
1a) f(0) = -4
1b) f'(0) est égal au coefficient directeur de la tanglente à la courbe au point d'abscisse 0 donc au point A.
Cette tangente passe par le point A (0 ; -4) et par le point de coordonnées (-4 ; 0)
f'(0) = -1
2a) f(x) = (ax + b)exp(0,5x)
f'(x) = aexp(0,5x) +0,5(ax+b)exp(0,5x) = exp(0,5x)(a + 0,5(ax + b))
f'(x) = 0,5(ax + b + 2a)exp(0,5x)
f'(0) = -1 → 0,5(b + 2a)exp(0) = -1 → 0,5b + a = -1
f(0) = -4 → bexp0) = -4 → b = -4
0,5*(-4) + a = -1 → -2 + a = -1 → a = 1
f(x) = (x -4)exp(0,5x)