Bonjour je suis en première et je n'arrive pas à faire cet exercice pouvez vous m'aider s'il vous plait. Merci d'avance.
A priori, la somme d’un nombre infini de longueurs serait une longueur infinie. Au Vème siècle avant JC, le grec Zénon d’Elée (-490 ; -425) nous exprime qu’il peut en être autrement. Achille, célèbre pour sa rapidité, court à vitesse constante sur un chemin de longueur 1. Achille doit d’abord parcourir la moitié de la longueur (1/2) puis la moitié de la longueur restante (1/4) et ainsi de suite en poursuivant ce processus de division à l'infini.
1) a) Calculer la distance parcourue après le 2e étape de sa course, puis après la 3e et la 4e étape. Que constate-t-on ? b) Exprimer en fonction de n, la distance dn parcourue après la énième étape.
2) Démontrer que pour tout entier n, on a :
dn =1− (1 /2^n)
.
3) a) En déduire que pour tout entier n, dn est inférieur à un entier à déterminer.
b) Expliquer alors le paradoxe donné par Zénon.
A priori, la somme d’un nombre infini de longueurs serait une longueur infinie. Au Vème siècle avant JC, le grec Zénon d’Elée (-490 ; -425) nous exprime qu’il peut en être autrement. Achille, célèbre pour sa rapidité, court à vitesse constante sur un chemin de longueur 1. Achille doit d’abord parcourir la moitié de la longueur (1/2) puis la moitié de la longueur restante (1/4) et ainsi de suite en poursuivant ce processus de division à l'infini.
1) a) Calculer la distance parcourue après le 2e étape de sa course, puis après la 3e et la 4e étape. Que constate-t-on ? b) Exprimer en fonction de n, la distance dn parcourue après la énième étape.
2) Démontrer que pour tout entier n, on a :
dn =1− (1 /2^n)
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3) a) En déduire que pour tout entier n, dn est inférieur à un entier à déterminer.
b) Expliquer alors le paradoxe donné par Zénon.
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