Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cette exercice du niveau 1ES
Si un S pourrait m'aider ;)
a) Etudier le signe du trinôme -3x² - x + 4
b) Etudier le signe du trinôme 2x² + 20x + 50
c) Résoudre alors dans ℝ l’inéquation
(-3x² - x + 4) / (2x² + 20x + 50) ≤ 0
Merci d'avance
Si un S pourrait m'aider ;)
a) Etudier le signe du trinôme -3x² - x + 4
b) Etudier le signe du trinôme 2x² + 20x + 50
c) Résoudre alors dans ℝ l’inéquation
(-3x² - x + 4) / (2x² + 20x + 50) ≤ 0
Merci d'avance
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alors pour étudier le signe d'un trinôme, tu peux utiliser une technique assez simple qui consiste à calculer les racines du polynômes.
Petit rappel : comme tu sais que la représentation graphique d'un polynôme est une parabole, tu sais qu'elle est susceptible de couper l'axe des abscisses et donc de poser un problèmes de signe (quand est elle positive, quand est elle négative). Pour le savoir, il suffit d'identifier les points d"intersection avec cet axe. Ces points sont donnés directement par les racines du polynômes, c a d, les solutions de l'équation P(x)=0.
Maintenant il y a deux cas qui se présentent :
- si la parabole est tournée vers le bas (comme la fonction carré, ses branches montent vers le haut). Alors la parabole est négative entre les racines et positives à l'extérieur des racines. (Un schéma est très utile pour comprendre la situation).
- si la parabole est tournée vers le haut c'est l'inverse, elle est positive entre les racines et négatives à l'extérieur des racines.
Il suffit donc d'examiner le sens de la parabole et les racines de chaque expression. Le sens de la parabole est donné par le signe du plus grand monôme (c a d x^2). Le premier polynôme possède -3 en facteur pour le plus grand monôme alors que le deuxième polynôme possède 2. Donc la première parabole est tournée vers le haut (positive entre les racines) et la deuxième est tournée vers le bas (négative entre les racines).
Étude du premier polynôme :
On commence par trouver ses racines en résolvant :
Le discriminant donne
En conclusion, le polynôme est de signe positif sur [-4/3;-1] et négatif sur ]-inf;-4/3] et [-1; +inf[.
Étude du deuxième polynôme :
la résolution donne une unique racine -5. Cela signifie que la parabole ne traverse pas l'axe des abscisses et le touche seulement. Donc le deuxième polynôme est toujours positif et s'annule en -5.
Maintenant, résolvons l'inéquation : pour résoudre une inéquation de ce genre, il suffit d'étudier le signe de chaque expression et d'appliquer la règle des signes sur le quotient. Comme le dénominateur est toujours positif, le signe du quotient est le même que celui du dénominateur. On veillera quand même à retirer -5 du domaine des solutions car c'est une racine pour le dénominateur.
Comme on a déjà fait l'étude du signe du numérateur, on a directement la solution. On sait que le numérateur est négatif sur ]-inf;-4/3] et [-1; +inf[.
Donc la résolution de l'inéquation donne le domaine de solution suivant : ]-inf;-5[U]-5;-4/3]U[-1;+inf[.
Voilà, n'hésite pas si tu as des questions sur tout ça.