Bonsoir à tous et à toutes,
J’ai un petit exo de maths à faire pour demain et j’ai essayé plusieurs pistes mais je n’y arrive pas ...
Le voici :
Soit f la fonction définie par f(x)= (x+5)^2 + 6. Montrer que f est minorée par 6.
Soit g la fonction définie par
g(x) = -(2/3) (-2x + 4)^2 + 10. Montrer que g est majorée.
Merci d’avance si vous pouvez m’aider
J’ai un petit exo de maths à faire pour demain et j’ai essayé plusieurs pistes mais je n’y arrive pas ...
Le voici :
Soit f la fonction définie par f(x)= (x+5)^2 + 6. Montrer que f est minorée par 6.
Soit g la fonction définie par
g(x) = -(2/3) (-2x + 4)^2 + 10. Montrer que g est majorée.
Merci d’avance si vous pouvez m’aider
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Question 1 :
Première solution
f(x) = (x+5)²+6 = x²+10x+25+6 = x²+10x+31
La fonction f est donc un polynôme du second degrés de type ax² + bx + c.
Comme le coefficient a est positif, sa représentation graphique est une parabole concave en haut (= dans le même sens que la parabole y = x²). L'extrémum de la parabole est donc un minimum. On peut trouver l'abscisse x qui correspond à ce minimum par la formule
Cela donne ici :
Donc f(-5) correspond au minimum de f(x).
f(-5) = 25 - 50 + 31 = 31 - 25 = 6
Donc 6 est le minimum de f(x) : la fonction f est donc minorée par 6.
Deuxième solution encore plus facile
f(x) = (x+5)²+6 correspond à la forme canonique de la fonction.
(x+5)² est un carré, donc forcément positif.
Donc f(x) = (x+5)² + 6 est donc toujours supérieur ou égal à 6.
On voit que 6 est le minimum de f(x) et que f(x) = 6 lorsque (x+5)=0, c'est-à-dire lorsque x=(-5)
Deuxième question
(-2x+4)² étant un carré, c'est un nombre toujours positif ou nul.
Donc
est un nombre négatif ou nul.
Donc g(x) est toujours inférieur ou égal à 10.
10 est donc le maximum de g(x). Il est obtenu lorsque (-2x+4) = 0 donc lorsque x=2.
J'espère avoir pu t'aider.
N'hésite pas à poser des questions.