Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour mon DM de math. l'exercice est : le rectangle ABCD est tel que le coté [AB] est de longueur 12 cm et le côté [BC] de longueur 10 cm. M est un point du segment [AB]. On dessine dans le rectangle ABCD :
- un carré de côté [AM]
- un triangle isocèle de base [MB] dont la hauteur a même mesure que le côté [AM]du carré.
Trois dessins sont proposés pour trois position différentes du point M (cf pj).
On note x la longueur AM.
Question 1 : l'aire du triangle peut-elle être supérieure ou égale à la moitié de celle du petit carré ?
Question 2 : pour quelles valeurs de x l'aire du motif grisé (petit carré + triangle) est-elle supérieure aux 2/3 de l'aire du rectangle ABCD.
- un carré de côté [AM]
- un triangle isocèle de base [MB] dont la hauteur a même mesure que le côté [AM]du carré.
Trois dessins sont proposés pour trois position différentes du point M (cf pj).
On note x la longueur AM.
Question 1 : l'aire du triangle peut-elle être supérieure ou égale à la moitié de celle du petit carré ?
Question 2 : pour quelles valeurs de x l'aire du motif grisé (petit carré + triangle) est-elle supérieure aux 2/3 de l'aire du rectangle ABCD.
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Réponse :
Question 1 : l'aire du triangle peut-elle être supérieure ou égale à la moitié du petit carré
1/2(x *(12-x)) ≥ 1/2) x²
1/2(12 x - x²) ≥ 1/2) x²
6 x - 1/2 x² ≥ 1/2) x² ⇔ 6 x ≥ x² ⇔ x² - 6 x ≤ 0 ⇔ x(x - 6) ≤ 0
pour x ≤ 6 pour x ∈[0 ; 6]
question 2
x² + 1/2(x (12 - x)) > 2/3) *120
x² + 6 x - x²/2 > 80 ⇔ x²/2 + 6 x - 80 > 0 ⇔1/2( x² + 12 x - 160) > 0
Δ = 144 + 640 = 784 ⇒ √784 = 28
x = - 12 + 28)/2 = 8
Donc pour x > 8 ou x ∈]8 ; 12]
Explications étape par étape