Réponse :

Bonjour

1)tu as dû trouver f'(x)=3x²+2x+1 , cette dérivée est toujours >0 donc f(x) est croissante sur R

Explications étape par étape :

2) on note que f(0)=0 et que f'(0)=1

équation de la tangente au point x=0 est y=1(x-0)+0=x

donc la droite  (d) d'équation y=x est la tangente à Cf au point d'abscisse x=0

3) Etudions le signe de f(x)-x

x³+x²+x-x=x³+x²=x²(x+1) cette expression =0 pour x=0 et x=-1

tableau de signes

x  -oo                          -1                              0                         +oo

x²                 +                            +                0           +

x+1               -                0           +                              +

f(x)-x             -                0           +                 0          +

Cf est en dessous de (d)  pour x appartenant à]-oo; -1[  et au dessus de (d) pour x appartenant ]-1;0[U]0;+oo[

la valeur x=0 étant le point de tangence entre Cf et (d)

4)Cf a une et une seule tangente de coefficient directeur 2/3 si f'(x)=2/3 a une solution unique

Résolvons 3x²+2x+1=2/3 ou 3x²+2x+1/3=0ou (9x²+6x+1)/3=0

on note que 9x²+6x+1=(3x+1)²  solution unique x=-1/3

soit (T) cette tangente son équation est donc y=(2/3)(x +1/3)+f(-1/3)

calcule la si tu veux mais on ne te la demande pas.

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Mais tu peux ajouter que:

la dérivée seconde f"(x)=6x+2 cette dérivée seconde s'annule pour  x=-1/3 ce que signifie que ce point de Cf d'abscisse -1/3 est un point d'inflexion

sur ]-oo; -1/3[  Cf est concave et se trouve en dessous de  la tangente (T)

sur ]1/3; +oo[  Cf est convexe et se trouve au dessus de (T)