Bonjour,

A.

Une droite passe par deux points, donc on peut avoir un polynôme de degré 1 qui passe par ces deux points.

Notons A et B les deux points, l'équation de la droite est

[tex]y=\dfrac{y_B(x-x_A)-y_A(x-x_B)}{x_B-x_A}[/tex]

C'est bien l'équation d'une droite qui passe par A et B.

B.

1. dire que ces trois points sont sur la courbe de f donne

[tex]2=a-b+c\\\\-2=a+b+c\\\\7=16a+4b+c[/tex]

2.

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&1&1\\16&4&1\end{array}\right] \times\left[\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}2\\-2\\7\end{array}\right][/tex]

3.

de L1+L2, a+c=0 donc b=-2

Et alors, en remplaçant dans L1, c=-a, et dans L3 cela donne

7=16a-8+-a=15a-8 <=>15a=15<=>a=1

et alors c=-1

le polynôme recherché est [tex]x^2-2x-1[/tex] et il est unique !

C.

On ecrit que les points sont sur la courbe donc [tex]f(x_0)=y_0[/tex], etc ce qui donne

[tex]\left[\begin{array}{cccc}1&x_0&...&x_0^n\\...&...&...&...\\1&x_n&...&x_n^n\end{array}\right] \times\left[\begin{array}{c}a_0\\...\\a_n\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}y_0\\...\\y_n\end{array}\right][/tex]

Comme la matrice est inversible il existe une unique solution, donc il existe une unique fonction polynomiale.

D.

[tex]\left[\begin{array}{cccc}1&-2&4&-8\\1&0&0&0\\1&1&1&1\\1&3&9&27\end{array}\right] \times\left[\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}10\\2\\4\\12\end{array}\right][/tex]

On peut résoudre directement ou calculer l'inverse de la matrice qui donne comme solution

[tex]a_0=2, a_1=\dfrac{8}{15}, a_2=\dfrac{26}{15},a_3=-\dfrac{4}{15}[/tex]

et donc

[tex]f(x)=-\dfrac{4}{15}x^3+\dfrac{26}{15}x^2+\dfrac{8}{15}x+2[/tex]

Merci