B et 4 ] ∀n€IN : Vn+1 -Vn ≤0 , donc (Vn) décroissante
Et : -1≤ Vn
Donc : La suite (Vn) est décroissant pour tous entier naturel n et minorer par -1 ; alors d’après le théorème de convergence monotone, la suite (Vn) est convergente
5)
D’après le théorème du point fixe :
f(l) = Vn+1
Avec : f(x) = x - 3 ; ∀ x € R⁺
f(l) = -1/2 Vn²
Donc au passage de la limite :
l = -1/2 l²
⇔ -1/2 l² - l = 0 ⇔ 1/2 l² + l = 0
a= 1/2 b= 1 c = 0
∆ = b² -4ac Or : c= 0
Donc : ∆ = b² ∆ = 1 >0 donc il y a 2 solution.
l₀ = -1+√1/2×1/2 l₀ = -1 +1 I₀ = 0
Et :
l₂ = -1-1 I₂ = -2
Or : on sait que : l € [-1;0]
Donc : finalement : l = 0
Lim Vn = 0 n⇛infini
6]
On sait que :
Vn = Un -3 ⇔ Un = Vn + 3
Lim Vn = 0 n⇛infini
Lim 3 = 3 n⇛ infini
Donc par somme :
Lim Un = 3 n⇛infini
De plus :
-1≤Vn≤0 -1≤ Un -3 ≤ 0 En ajoutant 3 :
2≤ Un ≤ 3
Donc : 0≤Un≤3
Donc : conclusion : (Un) est croissante et sa limite est de 3 au voisinage de +infini
Lista de comentários
U1 = -2 + 6-3/2
U1 = 5/2
U2 = -1/2 U1² + 3U1 -3/2
U2 = -25/8 + 15/2 - 3/2
U2 = -25/8 + 12/2
U2 = 23/8
2] A la calculatrice :
U3 ≈ 2,99219
U3 ≈ 2,99997
3] Conjecture : Il semble que la suite (Un) soit croissante et que sa limite au voisinage de +infini soit égale à 3
Partie B :
∀ n € IN :
Vn = Un -3
Vn+1 = Un+1 -3
or : Un+1 = -1/2Un²+3Un-3/2
donc :
Vn+1 = -1/2 Un² + 3Un -3/2 - 6/2
Vn+1 = -1/2 Un² + 3Un -9/2
Factorisons par -1/2 :
Vn+1 = -1/2(Un² - 6Un + 9)
Vn+1 = -1/2((Un-3)²) [identité remarquable]
Vn+1 = -1/2×Vn²
#cqfd
2]
Soit P(n) : -1≤Vn≤0 ; ∀n€IN
Démontrons par récurrence que P(n) est vrai :
Initialisation :
Pour n = 0 : V0 = U0 - 3
V0 = 2-3
V0 = -1
Et : -1≤V0≤0
Donc : P(0) est vrai.
Hérédité : Supposons qu’il existe un entier k, k€ IN tel que : P(k) : -1≤Vk≤0 est vrai
Montrons alors que :
P(k+1) : -1≤Vk+1 ≤ 0 est vrai aussi
D’après l’hypothèse de récurrence :
-1≤Vk≤0
⇔ 1 ≤ Vk² ≤ 0 (car : f:x-> ✘² est croissante sur IR donc l’ordre est conservé)
⇔ 1/2 ≤ 1/2Vk² ≤ 0
⇔ 0≥ Vk+1 ≥ -1/2
⇔-1/2≤ Vk+1 ≤0
or : -1 ≤ -1/2
Donc : -1 ≤ Vk+1 ≤0
Conclusion : l’initialisalisation vérifier, l’hérédité démontrer on a bien : P(n) vrai ∀n€IN
3a]
Vn+1 -Vn
-1/2 Vn² - Vn
-Vn ( 1/2 Vn + 1) [ factorisation]
#cqfd
B et 4 ] ∀n€IN : Vn+1 -Vn ≤0 , donc (Vn) décroissante
Et : -1≤ Vn
Donc :
La suite (Vn) est décroissant pour tous entier naturel n et minorer par -1 ; alors d’après le théorème de convergence monotone, la suite (Vn) est convergente
5)
D’après le théorème du point fixe :
f(l) = Vn+1
Avec : f(x) = x - 3 ; ∀ x € R⁺
f(l) = -1/2 Vn²
Donc au passage de la limite :
l = -1/2 l²
⇔ -1/2 l² - l = 0
⇔ 1/2 l² + l = 0
a= 1/2
b= 1
c = 0
∆ = b² -4ac
Or : c= 0
Donc : ∆ = b²
∆ = 1 >0 donc il y a 2 solution.
l₀ = -1+√1/2×1/2
l₀ = -1 +1
I₀ = 0
Et :
l₂ = -1-1
I₂ = -2
Or : on sait que : l € [-1;0]
Donc : finalement : l = 0
Lim Vn = 0
n⇛infini
6]
On sait que :
Vn = Un -3
⇔ Un = Vn + 3
Lim Vn = 0
n⇛infini
Lim 3 = 3
n⇛ infini
Donc par somme :
Lim Un = 3
n⇛infini
De plus :
-1≤Vn≤0
-1≤ Un -3 ≤ 0
En ajoutant 3 :
2≤ Un ≤ 3
Donc : 0≤Un≤3
Donc : conclusion : (Un) est croissante et sa limite est de 3 au voisinage de +infini
Alors : les conjectures sont exactes.