Problème :
ABCD est un trapèze rectangle de bases AD=6cm; CB=2cm, de hauteur AB=4cm.
BC=AH et la droite (CH) est perpendiculaire à (AD).
M est un point mobile sur le segment [AB].
La parallèle à (AD) passant par M coupe [CD] en N et la parallèle à (AB) passant par N coupe [AD] en P.
4 cm
2 cm
1. Réaliser une figure.
2. Quelle est la nature du triangle CHD? Justifier.
3. Démontrer que le quadrilatère AMNP est un rectangle.
4. Quelle est la nature du triangle NPD ? Justifier.
Le but du problème est de répondre à la question suivante : Où doit-on placer le point M sur le segment [AB]
pour que l'aire du rectangle AMNP soit la plus grande possible?
Quand on déplace le point M sur le segment [AB], la distance AM varie. On décide de la noter x. On pose donc
AM = x.
5. Quelles valeurs x peut-elle prendre ?
6. On note A(x) l'aire du rectangle AMNP en fonction de x. Démontrer que A(x) = 6x - x².
7. Compléter le tableau suivant grâce à votre calculatrice:
x
0 / 0,5 / 1 1,5/ 2 / 2,5 / 2,7 / 2,9/ 3 / 3,1 / 3,3 / 3,5
A(x)
8. Grâce au tableau de valeurs, tracer la courbe de A en fonction de x dans un repère orthogonal (une unité est
représentée par 2 cm en abscisse et 2cm en ordonnée).
9. Pour quelle valeur de x l'aire du rectangle AMNP semble-t-elle maximale ? Quelle est alors la nature du
rectangle AMNP?
10. En vous aidant de la courbe de A, déterminer pour quelles positions de M l'aire du rectangle est supérieure
ou égale à 8 cm².
ABCD est un trapèze rectangle de bases AD=6cm; CB=2cm, de hauteur AB=4cm.
BC=AH et la droite (CH) est perpendiculaire à (AD).
M est un point mobile sur le segment [AB].
La parallèle à (AD) passant par M coupe [CD] en N et la parallèle à (AB) passant par N coupe [AD] en P.
4 cm
2 cm
1. Réaliser une figure.
2. Quelle est la nature du triangle CHD? Justifier.
3. Démontrer que le quadrilatère AMNP est un rectangle.
4. Quelle est la nature du triangle NPD ? Justifier.
Le but du problème est de répondre à la question suivante : Où doit-on placer le point M sur le segment [AB]
pour que l'aire du rectangle AMNP soit la plus grande possible?
Quand on déplace le point M sur le segment [AB], la distance AM varie. On décide de la noter x. On pose donc
AM = x.
5. Quelles valeurs x peut-elle prendre ?
6. On note A(x) l'aire du rectangle AMNP en fonction de x. Démontrer que A(x) = 6x - x².
7. Compléter le tableau suivant grâce à votre calculatrice:
x
0 / 0,5 / 1 1,5/ 2 / 2,5 / 2,7 / 2,9/ 3 / 3,1 / 3,3 / 3,5
A(x)
8. Grâce au tableau de valeurs, tracer la courbe de A en fonction de x dans un repère orthogonal (une unité est
représentée par 2 cm en abscisse et 2cm en ordonnée).
9. Pour quelle valeur de x l'aire du rectangle AMNP semble-t-elle maximale ? Quelle est alors la nature du
rectangle AMNP?
10. En vous aidant de la courbe de A, déterminer pour quelles positions de M l'aire du rectangle est supérieure
ou égale à 8 cm².
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Réponse:
Je peux vous aider à résoudre ce problème en plusieurs étapes :
1. Réaliser une figure :
Dessinez un trapèze ABCD avec AD = 6 cm, CB = 2 cm, AB = 4 cm, BC = AH, et (CH) perpendiculaire à (AD). Placez un point mobile M sur le segment [AB].
2. Nature du triangle CHD :
Le triangle CHD est un triangle rectangle, car (CH) est perpendiculaire à (AD) et, par conséquent, l'angle CHD est droit.
3. Démontrer que le quadrilatère AMNP est un rectangle :
Pour démontrer que AMNP est un rectangle, vous pouvez montrer que les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Utilisez les propriétés des droites parallèles et la similitude de triangles.
4. Nature du triangle NPD :
Le triangle NPD est également un triangle rectangle, car il est formé par des droites parallèles à (AB) et (AD).
5. Valeurs possibles de x :
La valeur de x peut varier entre 0 et 4 (car AM ne peut pas dépasser la longueur de la base AB).
6. Aire du rectangle en fonction de x :
L'aire A(x) du rectangle AMNP est donnée par A(x) = x * (4 - x).
7. Complétez le tableau en calculant A(x) pour chaque valeur de x donnée.
8. Tracez la courbe de A(x) en fonction de x dans un repère orthogonal.
9. Pour quelle valeur de x l'aire semble maximale ?
Identifiez le maximum de la courbe, et pour cette valeur de x, le rectangle AMNP est un carré (aire maximale).
10. Utilisez la courbe pour déterminer les positions de M où l'aire du rectangle est supérieure ou égale à 8 cm² en cherchant les valeurs de x correspondantes.