4) Renato pretende tirar 30 dias de férias no mês que vem. Como ele está muito sedentário, ele planejou fazer caminhadas durante as férias. Ele montou um programa de treinamento em que caminhará 1200 metros no primeiro dia de férias e, a cada dia subsequente, caminhará 300 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo que Renato cumpriu rigorosamente o seu planejamento até o seu último dia de férias, quantos quilômetros ao todo Renato caminhou ao longo das suas férias?
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Com isso, a quantidade de metros caminhados no n-ésimo dia é dada por:
metros = 1200 + 300 * (n - 1)
Ao longo dos 30 dias, Renato caminhará a soma dos metros caminhados em cada dia:
metros = 1200 + 300 * (1) + 1200 + 300 * (2) + ... + 1200 + 300 * (29) + 1200 + 300 * (30)
= 1200 * 30 + 300 * (1 + 2 + ... + 30)
= 36000 + 300 * (1 + 2 + ... + 30)
A soma dos números de 1 a 30 é conhecida como a soma dos números naturais e é dada por:
1 + 2 + ... + n = n * (n + 1) / 2
Substituindo este valor na expressão anterior, temos:
metros = 36000 + 300 * (30 * (30 + 1) / 2)
= 36000 + 300 * 435
= 36000 + 130500
= 166500 metros
Dividindo os metros caminhados por 1000, temos o total em quilômetros:
quilômetros = metros / 1000
= 166.5 km