April 2019 1 44 Report

Pouvez-vous m'aider s'il vous plait, je ne comprend pas du tout les fonctions logarithmes népérien :/

A. f et g sont deux fonctions définies sur [0;+ l'infinie[ par :

f(x)=ln(x+1)-1 et g(x)=ln(x+1)-x+x²/2

1) Etudiez les variations de f et de g

2) Déduisez-en que pour tout x de [0; + l'infinie[

x-x²/2 plus petit ou égale à ln(1+x) plus petit ou égale x [1]

B. La suite (Un) est définie par tout n de N* par:

U1= 3/2 et Un+1 = Un (1+ 1/2^n+1)

1. a) Démontrez par récurrence que pour tout n de N* : Un > 0
b) Démontrez par récurrence que pour tout n de N*:

ln (Un)=ln(1+1/2) + ln (1+1/2²) + ...+ln (1+1/2^n)

2. On pose, pour tout n de N*

Sn=1/2 + 1/2²+ ...+ 1/2^n et Tn= 1/4 + 1/4² +...+1/4^n

a) A l'aide de [1], démontrez que pour tout n de N*

Sn -1/2xTn plus petit ou égale ln(Un) plus petit ou égale Sn

b) Calculez Sn et Tn en fonction de n, et déduisez-en lim(n->+ l'infinie) Sn et lim (même chose) Tn

3. a) Démontrez que la suite (Un) est strictement croissante

b) Déduisez-en que la suite (Un) est convergente. On note l sa limite

4. On admet que si deux suites (Vn) et (Wn) sont convergente et telles que pour tout n de N*, Vn plus petit ou égale à Wn alors: lim (même chose) Vn plus petit ou égale à lim (même chose) Wn

Démontrez que pour tout n de N*; 5/6 plus petit ou égale (Un) plus petit ou égale à 1. Déduisez-en un encadrement de l


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