1) Développement décimal de 5÷7 ( division euclidienne)

a) Effectuer la division décimale de 5 par 7 jusqu'à la 20éme décimale.

papier - rayon et vous posez la division comme en primaire

vous aurez :

5 : 7 = 0.71428571428571428571

b) Que remarque-t-on ? répétition de 714285

Peut-on écrire jusqu'à la 30ème décimale facilement ?

on reporte 714285 derrière le  0.71428571428285 pour complèter jusque la 30eme décimale

0.7142857142857142825714285714285

donc bloc de 5 fois 714285 (5 x 6 chiffres = 30 chiffres derrière la virgule)

c) Dans une division euclidienne par 7, combien peut-il y avoir de restes différents ? 6

et donc, combien de chiffres différents peuvent apparaître au quotient lorsque l'on "abaisse 0" dans une division décimale? 6

d) Sachant que 6/7 ≈ 0,857142 , donner la valeur approchée à la 20 eme décimale de 6/7 ) => 0,857142 857142 857142 85

on repète : 857142 - bloc de 6 chiffres => 3 x ce bloc + 2 chiffres

2) Retrouver l'écriture fractionnaire d'un nombre à l'aide de son développement décimal périodique

a) A=0,123123123.... (développement périodique de période 123). Calculer 1000A-A.

100A = 123,123123 où 123 désigne la période du nbre

donc 100A - A = 123,123 - 0,123 = 123

b) En déduire l'écriture fractionnaire de A.

100A - A = 99A = 123

donc A = 123/99 = (41x3) / (33x3) = 41/33

c) En suivant ce principe retrouver la fraction irréductible B telle que B=2,818181... (période 81)

même raisonnement complet :)