ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 6 et BC = 10
Soit M un point du segment [AC] tel que AM = x , x étant un nombre réel.
a. A quel intervalle doit appartenir le nombre x pour que l'aire du triangle BCM soit plus grande que 18 ?
b. Pour quelle valeur de x a-t-on BM = 8 ? On attend une valeur exacte simplifiée au mieux.
Soit M un point du segment [AC] tel que AM = x , x étant un nombre réel.
a. A quel intervalle doit appartenir le nombre x pour que l'aire du triangle BCM soit plus grande que 18 ?
b. Pour quelle valeur de x a-t-on BM = 8 ? On attend une valeur exacte simplifiée au mieux.
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aire(BCM) = (1/2) x BC x BM
On sait que BC = 10, et on exprime BM en fonction de x : en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ABM rectangle en B, on a :
BM² = AB² + AM²
BM² = 6² + x²
BM = √(36 + x²)
Donc l'aire du triangle BCM est :
aire(BCM) = (1/2) x 10 x √(36 + x²)
aire(BCM) = 5√(36 + x²)
On veut que cette aire soit plus grande que 18, donc on a l'inégalité suivante à résoudre :
5√(36 + x²) > 18
On divise les deux membres par 5 :
√(36 + x²) > 3,6
On élève les deux membres au carré :
36 + x² > 12,96
x² > -23,04
Comme x² est toujours positif, cette inégalité est vraie pour tous les nombres réels x. Donc l'ensemble des solutions est l'intervalle ]-∞, +∞[.
b. On veut trouver la valeur de x telle que BM = 8. En utilisant l'équation précédente, on a :
√(36 + x²) = 8
On élève les deux membres au carré :
36 + x² = 64
On résout cette équation du second degré :
x² = 28
La solution positive est x = √28 = 2√7. Donc la valeur de x recherchée est x = 2√7.