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On dispose d'une feuille de papier carrée de côté de longueur 1. On effectue le pli ci-dessous. La figure obtenue a été représentée
à côté.
On aimerait déterminer les longueurs des différents segments obtenus par pliage. On exprimera les longueurs sous la forme d'une
fraction irréductible.
1. On note a la longueur DF.
(a) Donner la valeur minimale et la valeur maximale de a.
(b) Expliquer pourquoi FE = FC = 1-a.
(c) Déterminer DE.
H
3
(d) En utilisant le triangle DEF, montrer que a = . En déduire EF. Justifier.
8
2. (a) Expliquer pourquoi HEF = 90°.
(b) Montrer que DEF = AHE.
(c) De même, montrer que IGH = EFD.
(d) Que peut-on dire des triangles DEF, AEH et GHI.
3. (a) Calculer AH et HE. Justifier.
1
(b) Pourquoi IH = ? Justifier.
6
(c) Calculer HG et IG. En déduire GH. Justifier.
On dispose d'une feuille de papier carrée de côté de longueur 1. On effectue le pli ci-dessous. La figure obtenue a été représentée
à côté.
On aimerait déterminer les longueurs des différents segments obtenus par pliage. On exprimera les longueurs sous la forme d'une
fraction irréductible.
1. On note a la longueur DF.
(a) Donner la valeur minimale et la valeur maximale de a.
(b) Expliquer pourquoi FE = FC = 1-a.
(c) Déterminer DE.
H
3
(d) En utilisant le triangle DEF, montrer que a = . En déduire EF. Justifier.
8
2. (a) Expliquer pourquoi HEF = 90°.
(b) Montrer que DEF = AHE.
(c) De même, montrer que IGH = EFD.
(d) Que peut-on dire des triangles DEF, AEH et GHI.
3. (a) Calculer AH et HE. Justifier.
1
(b) Pourquoi IH = ? Justifier.
6
(c) Calculer HG et IG. En déduire GH. Justifier.
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1. (a) La valeur minimale de a est 0 et la valeur maximale de a est 1.
(b) Les segments FE et FC sont les deux côtés adjacents du carré ABCD, donc leur longueur est égale à 1. Comme l'angle FCB est droit (à cause du pli), le triangle FCB est rectangle en C, et donc par le théorème de Pythagore :
FC² + FB² = BC²
1² + FE² = 1²
FE² = 1 - 1²
FE² = 1 - 1
FE² = 0
Donc, FE = 0, et comme FC = 1, on a FE = FC = 1-a.
(c) Le triangle DEF est rectangle en D (à cause du pli), donc par le théorème de Pythagore :
DE² + EF² = DF²
DE² + (1-a)² = 1²
DE² + 1 - 2a + a² = 1
DE² = 2a - a²
Donc, DE = √(2a - a²).
(d) En utilisant le triangle DEF, on a :
tan(DEF) = DE / EF
tan(DEF) = √(2a - a²) / (1-a)
Or, dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
tan(A) = AH / AC = AH / 1 = AH
Donc, tan(A) = tan(DEF), et donc :
AH = √(2a - a²)
En utilisant le triangle EAF rectangle en E, on a :
EF² + AF² = EA²
(1-a)² + 1² = EA²
a² - 2a + 2 = EA²
Donc, EA = √(a² - 2a + 2)
En utilisant le triangle AHE rectangle en H, on a :
tan(HAE) = AH / HE
tan(90° - A) = √(2a - a²) / HE
1/tan(A) = √(2a - a²) / HE
HE = √(2a - a²) / tan(A)
HE = √(2a - a²) / √3
HE = √(2/3) * √(3a² - 2a)
En résumé, on a :
AH = √(2a - a²)
EA = √(a² - 2a + 2)
FE = 1 - a
FC = 1
DE = √(2a - a²)
HE = √(2/3) * √(3a² - 2a)
EF = (√(a² - 2a + 2) - √(2a - a²)) / 2
2. (a) Les points H, E et F sont alignés sur la droite HEF, et H, E et A sont alignés sur la droite AE, donc l'angle HEF est droit.
(b) Les droites DH et AH sont des hauteurs du triangle DEF, donc DEF = AHE.
(c) Les droites GI et EI sont des hauteurs du triangle EFG, donc EFG = IGH = EFD.
(d) Les triangles DEF, AEH et GHI sont rectangles et ont un angle en commun (l'angle