Mozi
Pour les 2 premières limites, il faut développer la fonction en : 1/(2+1/x) + sin(x)/(2x+1) 1/x tend vers 0, donc la première partie tend vers ½ La valeur absolue de la deuxième partie est inférieure à 1/(2x+1) qui tend vers 0 => elle tend elle même vers 0 La limite est donc ½ pour les deux limites
rc(n)= racine carrée de n Il faut noter que 2rc(n+1)-2rc(n)<1/rc(n) <=> 4n(n+1)<(1+2n)^2 <=> 4n^2+4n<4n^2+4n+1 car 0<1 Cela permet de déduire que: 1/rc(1)+1/rc(2)+1/rc(3)......+1/rc(n-1)+1/rc(n)>2rc(2)-2rc(1)+2rc(3)-2rc(2)+2rc(4)-2rc(3)....+2rc(n) -2rc(n-1)+2rc(n+1)-2rc(n) <=> La somme des inverses des racines >2rc(n+1)-2rc(1) Soit >2rc(n+1)-2 Or lim rc(n+1) est + infini donc notre suite tend aussi vers +infini
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1/(2+1/x) + sin(x)/(2x+1)
1/x tend vers 0, donc la première partie tend vers ½
La valeur absolue de la deuxième partie est inférieure à
1/(2x+1) qui tend vers 0 => elle tend elle même vers 0
La limite est donc ½ pour les deux limites
rc(n)= racine carrée de n
Il faut noter que 2rc(n+1)-2rc(n)<1/rc(n)
<=> 4n(n+1)<(1+2n)^2
<=> 4n^2+4n<4n^2+4n+1 car 0<1
Cela permet de déduire que:
1/rc(1)+1/rc(2)+1/rc(3)......+1/rc(n-1)+1/rc(n)>2rc(2)-2rc(1)+2rc(3)-2rc(2)+2rc(4)-2rc(3)....+2rc(n)
-2rc(n-1)+2rc(n+1)-2rc(n)
<=>
La somme des inverses des racines >2rc(n+1)-2rc(1)
Soit >2rc(n+1)-2
Or lim rc(n+1) est + infini donc notre suite tend aussi vers +infini