Réponse :

Explications étape par étape :

■ BONSOIR !

■ f(x) = (1 - 2x²) / (x² + x + 1)

■ 1°) Le Dénominateur n' est jamais nul donc Df = IR .

■ 2°) il suffit de résoudre l' équation enfantine :

        x² + x + 1 = 1 - 2x²

        donc :

           3x² + x = 0

         x(3x + 1) = 0

         d' où les deux points d' intersection :

         J(-1/3 ; 1)   et   K(0 ; 1) .

■ 3°) résolvons :

        1 - 2x² = -3x² - 3x - 3

        donc :

         x² + 3x + 4 = 0

        aucun point d' intersection car Δ = -7 < 0 .

■ 4°) majoration du Numérateur :        

         1 - 2x² ≤ 1 est évident ! ☺

        minoration du Dénominateur :  

         x² + x + 1 ≥ 0,75 donne

         x² + x + 0,25 ≥ 0

             ( x + 0,5 )² ≥ 0 TOUJOURS vérifié !

         D' où la majoration de f :

          1 / 0,75 = 4/3 .

         remarque :

         le Maximum de f est proche de(-0,18 ; +1,097) .

         f ' (x) = [ -4x(x²+x+1) - (1-2x²)(2x+1) ] / (x²+x+1)²

                  = [ -4x³-4x²-4x -2x-1+4x³+2x² ] / (x²+x+1)²

                  = [ -2x² - 6x - 1 ] / (x²+x+1)²

          cette dérivée est nulle pour x ≈ - 2,823   et   x ≈ - 0,177

                                                             ↓                         ↓

                                                          minimum           Maximum