Réponse :

Explications étape par étape :

■ il faut féliciter Bernard LECOURT pour son excellent travail .

■ croquis fait, on comprend bien que l' Aire A2

  du secteur angulaire d' angle x est bien compris

  entre l' Aire A1 du triangle OMI et l' Aire A3 du triangle ONI .

■ 1°) Domaine de déf de tanx = IR - { (2k+1)π/2 avec k ∈ Z }

   2°) t(x) = (sinx - sin0) / (x - 0) = sinx / x

   3°) Aire OMI = A1 = 0,5 cosx sinx + 0,5 sinx (1 - cosx) = 0,5 sinx

        Aire OMI = A2 = x / 2

        Aire ONI = A3 = 0,5 tanx

        on a donc bien A1 ≤ A2 ≤ A3 .

   4°)         sinx ≤ x ≤ sinx / cosx

        donc 1 ≤ x / sinx ≤ 1 / cosx

        d' où cosx ≤ sinx / x ≤ 1

                    cosx ≤ t(x) ≤ 1

   5°) or Lim cosx = 1 au voisinage de zéro   ♥

        donc          1 ≤ t(x) ≤ 1

        d' où Lim t(x) = 1 au voisinage de zéro

        dérivabilité de sinx :

        aucun souci

■ remarque sur les Développements Limités :

   DL(sinx) = x - (x³ / 6)

   donc Lim (sinx / x) = Lim 1 - (x² /6) = 1 au voisinage de zéro .