Bonsoir, je suis en 2nde et j'ai bientôt une interro de maths, donc je refais quelques exercices, mais je bloque ici :
Soit a, b, c ∈ ℝ et soit ax² + 2bx - 2c = 0 une équation admettant deux solutions distinctes. Alors, la somme des inverses des carrés de ces solutions est
. Vrai ou faux ? Justifier.
Nous devons utiliser les formules de somme et produit d'équations d'une deuxième degré de type ax²+bx+c, à savoir :
S (somme) = -b/a
P (produit) = c/a
J'ai déjà le correctif de cet exercice mais il n'est pas complet (ici, x1 et x2 sont les 2 solutions de l'équation) :
Comment arrive-t-on à ce résultat ? Pouvez-vous me donner le raisonnement complet svp ? Merci beaucoup !!
Soit a, b, c ∈ ℝ et soit ax² + 2bx - 2c = 0 une équation admettant deux solutions distinctes. Alors, la somme des inverses des carrés de ces solutions est
Nous devons utiliser les formules de somme et produit d'équations d'une deuxième degré de type ax²+bx+c, à savoir :
S (somme) = -b/a
P (produit) = c/a
J'ai déjà le correctif de cet exercice mais il n'est pas complet (ici, x1 et x2 sont les 2 solutions de l'équation) :
Comment arrive-t-on à ce résultat ? Pouvez-vous me donner le raisonnement complet svp ? Merci beaucoup !!
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Somme des inverses des carrés des racines x₁² x₂²
1/x₁² + 1/x₂² = (x₁² + x₂² )/x₁² x₂² (on réduit au même dénominateur)
= (x₁² + x₂² + 2x₁² x₂² - 2x₁² x₂²)/x₁² x₂² (on ajoute et on enlève 2x₁² x₂² pour faire apparaître le carré de la somme
= [(x₁ + x₂)² - 2x₁² x₂²] / x₁² x₂² ici on a obtenu (S² - 2P)/P²
S = -b/a P = c/a on remplace
S² - 2P = (b²/a²) -2c/a) = b²/a² -2ac/a²
P² = c²/a²
Quotient ( b²/a² -2ac/a²)/(c²/a²) = (b² -2ac)/c²
voilà le résultat que je trouve : (b² -2ac)/c²
Ce n'est pas le résultat que tu donnes (b²+ ac)/c²
j'ai peut être fait ne étourderie.
N'empêche que je ne vois pas comment le -2 qui est devant P dans
(S² - 2P)/P² peut disparaître
Réponse :
J'ai procédé ainsi :
au lieu de ax² + bx + c, je note Ax² + Bx + C. Ainsi, 1/x1² + 1/x2² = (B² - 2AC)/C² (cf. la réponse de jpmorin3).
puis dans ax² + 2bx - 2c, j'identifie les coefficients, j'ai donc A = a, B = 2b et C = -2c. Ainsi, 1/x1² + 1/x2² = (B² - 2AC)/C² = ((2b)² - 2a*(-2c))/((-2c)²) = (4b² + 4ac)/(4c²), ce qui fait bien (b² + ac)/c² après avoir simplifié par 4 suite à la factorisation du numérateur par 4..
Explications étape par étape
Voilà, j'espère avoir été assez claire, compréhensive ; sinon n'hésite surtout pas à poser des questions..