Isso acontece pois, para cada conjunto Aᵢ, temos um intervalo simétrico em relação ao zero, com tamanho 2^(i+1). Assim, ao unirmos os conjunto até o A_k, temos um intervalo que vai de -2^k até 2^k, com tamanho 2^(k+1). Já que estamos calculando apenas o tamanho ou cardinalidade deste intervalo, basta subtrair o tamanho do intervalo anterior, 2^k, para chegarmos à expressão 2^k.
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Resposta:
A expressão algébrica para | Pi i = 0 ^ k A i | em função de kЄN é:
|P i=0 ^k A i| = |(-2^k, 2^k)| = 2^(k+1) - 2^k = 2^k.
Isso acontece pois, para cada conjunto Aᵢ, temos um intervalo simétrico em relação ao zero, com tamanho 2^(i+1). Assim, ao unirmos os conjunto até o A_k, temos um intervalo que vai de -2^k até 2^k, com tamanho 2^(k+1). Já que estamos calculando apenas o tamanho ou cardinalidade deste intervalo, basta subtrair o tamanho do intervalo anterior, 2^k, para chegarmos à expressão 2^k.