Resposta:

420

Explicação passo a passo:

Vou considerar que não pode girar a figura e nem espelhá-la. Também que tem que pintar o círculo no centro.

Vamos dividir o problema em três partes e depois somar as possibilidades:

• Pintar a figura sem nenhuma repetição de cores (5 cores diferentes)
• Com exatamente 1 repetição de cores
• Com exatamente 2 repetições de cores

Note que não há como ter 3 repetições, pois as fronteiras não permitem.

Vou sempre considerar a cor do círculo primeiro, pois ele está em fronteira com todas as regiões e portanto qualquer cor nele não pode ser repetida nas demais.

• Para o caso sem nenhuma repetição: 5 possibilidades de cores para o círculo, 4 para a primeira região, 3 para a segunda, 2 para a terceira e 1 para a quarta, ou seja, 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 possíveis jeitos.

• Para o caso de haver 1 repetição de cor, temos que considerar que essa repetição pode ser na vertical (primeira e terceira região) ou horizontal (segunda e quarta região).

1. Para repetição vertical, temos: 5 possibilidades de cores no círculo, 4 possibilidades para a primeira região, 1 para a terceira (pois consideramos que é igual a primeira), 3 para a segunda e 2 para a quarta (não pode ser 3 porque estamos considerando nesse caso que a segunda e a quarta região NÃO são iguais), ou seja, 5 x 4 x 1 x 3 x 2 = 120 possibilidades.
2. Para repetição horizontal, temos: 5 no círculo, 4 para a segunda região, 1 para a quarta (pois consideramos que é igual a segunda), 3 para a terceira e 2 para a primeira (não pode ser 3 porque estamos considerando nesse caso que a primeira e a terceira região NÃO são iguais), ou seja5 x 4 x 1 x 3 x 2 = 120 possibilidades.

• Para o caso de haver 2 repetições: 5 possibilidades no círculo, 4 para a primeira região, 1 para a terceira (pois consideramos que é igual a primeira), 3 para a segunda e 1 para a quarta (pois consideramos que é igual a segunda), ou seja, 5 x 4 x 1 x 3 x 1 = 60 possibilidades

Somando-se todos os casos, temos: 120 + (120+120) + 60 = 420 possibilidades.