Há 5 cores. Comecemos escolhendo o elemento mais restritivo. Veja que o círculo no meio é o mais concorrente, visto que ele está em contato com todas as outras 4 áreas.

Há 5 modos de escolher a cor do círculo. Escolhida a cor deste, você tem 4 modos de colorir o trapézio [tex]T_1[/tex], já que este não pode ser da mesma cor do círculo. Escolhido o trapézio [tex]T_1[/tex], o trapézio ao lado ([tex]T_2[/tex]) tem 3 modos de ser colorido, já que não pode ter a mesma cor que [tex]T_1[/tex] ou que o círculo.

Prevendo um conflito futuro, particionemos a tomada de decisão [tex]T_3[/tex] em dois casos:

Caso 1: [tex]T_3[/tex] tem a mesma cor que [tex]T_1[/tex]:

Nessa circunstância, há somente 1 modo de escolher [tex]T_3[/tex], já que este deve ser igual a [tex]T_1[/tex]. Isso tem como consequência que [tex]T_4[/tex] tem 3 modos de ser escolhido, pois não pode ser igual a [tex](T_1, T_3)[/tex] e tampouco ao círculo.

Caso 2: [tex]T_3[/tex] é diferente de [tex]T_1[/tex]:

Para que isso ocorra, [tex]T_3[/tex] deve ser diferente do círculo, de [tex]T_1[/tex] e de [tex]T_2[/tex], restando, portanto, somente 2 cores para escolher. Esta decisão tem como consequência 2 modos de escolher [tex]T_4[/tex], pois este deve ser distinto do círculo, de [tex]T_1[/tex] e de [tex]T_3[/tex].

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[tex]5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 3 = 180[/tex] modos de se chegar ao caso 1.

[tex]5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 240[/tex] modos de se chegar ao caso 2.

Como o particionamento da decisão [tex]T_3[/tex] resultou em dois casos dependentes entre si, eles devem ser somados, não multiplicados. Total:
[tex]180 + 240 = 420[/tex] maneiras de se pintar a figura.

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Obs: seria o cúmulo que o enunciado não dissesse que a figura é simétrica, ou seja, que as 4 escolhas de um conjunto ordenado de cores para os trapézios fosse na realidade a mesma escolha. Exemplo:

[tex](T_1, T_2, T_3, T_4)[/tex] ser, nessa ordem, preto, branco, azul e vermelho.

Eu considerei essa escolha DISTINTA de [tex](T_4, T_1, T_2, T_3)[/tex] ser, nessa ordem, preto, branco, azul e vermelho. Se correspondessem à mesma figura, isso deveria ser especificado no enunciado.