Veja que achamos uma solução para y por meio da equação (v), agora basta substituir essa solução nas equações iniciais do sistema (i) ; (ii) e (iii) para ver o que podemos fazer a partir de agora:
[tex]\Large\text{${ \begin{cases} \sf x + y - z = 2 \\ \sf 2x + 3y + 5z = 11 \\ \sf x + 5y + 6z = 9 \end{cases} }$}[/tex]
Lista de comentários
Após efetuar os cálculos e análises necessárias, concluímos que a alternativa correta a se marcar é a Letra a).
Sistemas lineares (método da adição):
Resolvendo a questão proposta:
Para podermos tirar as conclusões acerca de qual das alternativas está correta, devemos resolver o seguinte sistema:
[tex]\Large\text{${ \begin{cases} \sf x + y - z = 2 ~~~~~~~~~~\left(i\right) \\ \sf 2x + 3y + 5z = 11 ~~~~\left(ii\right) \\ \sf x + 5y + 6z = 9 ~~~~~~~\left(iii\right)\end{cases}}$}[/tex]
Multiplique ambos os lados da equação (ii) por (-1), para assim obter outra equação, a qual chamaremos de (iv):
[tex]\Large\text{${ \begin{cases} \sf x + y - z = 2 \\ \sf 2x + 3y + 5z = 11 \\ \sf x + 5y + 6z = 9 \end{cases} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${ \begin{cases} \sf x + y - z = 2 \\ \sf \left(-1\right)\cdot\left(2x + 3y + 5z\right) = 11 \cdot \left(-1\right) \\ \sf x + 5y + 6z = 9 \end{cases} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${ \begin{cases} \sf x + y - z = 2 \\ \sf -2x - 3y - 5z = -11 ~~~~\left(iv\right) \\ \sf x + 5y + 6z = 9 \end{cases} }$}[/tex]
Agora some as igualdades (i) ; (iii) e (iv) membro a membro:
[tex]\Large\text{${\sf ~~~- 2x - 3y - 5z \,\,= -11}$}\\\\\Large\text{${\sf ~~~~~~\,\,x + 5y + 6z \,\,\,\,= 9}$}\\\\\Large\text{${\sf \underline{\sf +~~~~~x + ~\,y - \,\,z \,\,\,\,= 2~~~~~~~~}}$}\\\\\Large\text{${\sf ~~~~~~0x + 3y + 0z ~\,= 0 ~~~~\Longrightarrow ~~~~3y = 0 ~~~~\Longrightarrow ~ \underbrace{\sf y = 0}}$}\\\sf ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left(v)[/tex]
Veja que achamos uma solução para y por meio da equação (v), agora basta substituir essa solução nas equações iniciais do sistema (i) ; (ii) e (iii) para ver o que podemos fazer a partir de agora:
[tex]\Large\text{${ \begin{cases} \sf x + y - z = 2 \\ \sf 2x + 3y + 5z = 11 \\ \sf x + 5y + 6z = 9 \end{cases} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${ \begin{cases} \sf x + 0 - z = 2 \\ \sf 2x + 3 \cdot 0 + 5z = 11 \\ \sf x + 5 \cdot 0 + 6z = 9 \end{cases} }$}[/tex]
[tex]\Large\text{${ \begin{cases} \sf x - z = 2 ~~~~~~~~\left(vi\right)\\ \sf 2x + 5z = 11 ~~~\left(vii\right)\\ \sf x + 6z = 9 ~~~~~~\left(viii\right)\end{cases} }$}[/tex]
Podemos isolar o x na equação (viii) e substituir em (vi):
→ Isolando:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ x + 6z = 9}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ \underbrace{\sf x = 9 - 6z}}$}\\\sf ~~~~~~~~\,\,Substitua\:em\left(vi\right)[/tex]
→ Substituindo:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ x - z = 2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 9 - 6z - z = 2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ -7z = 2 - 9}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ -7z = -7}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ z = \dfrac{-7}{-7}}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ z = 1 ~~~~\left(ix\right)}$}[/tex]
Veja que achamos o valor de z através da equação (ix), agora podemos substituir esse valor em (vi) para acharmos x:
[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ x - z = 2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x - 1 = 2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x = 2 + 1}$}[/tex]
[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x = 3 ~~~~\left(x\right)}$}[/tex]
Pronto, agora é só organizar as soluções descobertas em (v) ; (ix) e (x) na forma de terno ordenado (x ; y ; z).
Portanto, o conjunto solução do sistema é:
[tex]\Large\boxed{\boxed{\bf S = \left(x\:;\:y\:;\:z\right) = \left(3\:;\:0\:;\:1\right) }}[/tex]
E com essa informação, concluímos que a resposta certa é a alternativa a) O sistema linear admite apenas a solução (3 ; 0 ; 1).
Dúvidas? Comente.
Bons estudos.
Espero ter ajudado❤.
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