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Resposta:

A hipotenusa desse triângulo vale 25 m.

Explicação passo a passo:

PA: (a₁, a₂, a₃)

Chamando:

a₁ = x - r

a₂ = x

a₃ = x + r

onde r é a razão da PA

PA: (x - r, x, x + r)

Teorema de Pitágoras:

Obs. A hipotenusa é sempre o lado maior (x + r)

(x + r)² = x² + (x - r)²

x² + 2xr + r² = x² + x² - 2xr + r²

x² - 4xr = 0

Resolvendo:

x(x - 4r) = 0

1a solução: x = 0 => não serve como resposta. Se x = 0 não existe um triângulo

2a solução :

x - 4r = 0

x = 4r (I)

A área de um triângulo retângulo (A):

A = base.altura/2

Dado A = 150 m²

x.(x - r)/2 = 150

Substituindo de (I) x = 4r

4r(4r - r) = 2 .150

4r(3r) = 300

r² = 300/12 = 25

r = ±√25 = ± 5

1a solução: r = -5

Substituindo r = - 5 em x = 4r:

x = 4.(-5) = -20 m => não serve como resposta porque não existe comprimento negativo

2a solução r = 5

Substituindo r = 5 em x = 4r:

x = 4.(5) = 20 m

Substituindo r =5 e x = 20 temos:

PA: (a₁, a₂, a₃)

Chamando:

a₁ = x - r = 20 - 5 = 15

a₂ = x = 20

a₃ = x + r = 20 + 5 = 25 => Hipotenusa

PA: (15, 20, 25) m