C)1

Explicação

INTEGRAL TRIPLA: resolve as integrais interiores antes.

...........

[tex] \int^1_0\int^{1-y}_0\int^2_0dx \: dz \: dy[/tex]

Para resolver iremos realizar a integral mais interior ou seja:

[tex] \int^1_0\int^{1-y}_0 \boxed{\int^2_0dx} \: dz \: dy[/tex]

...........

[tex]\boxed{\int^2_0dx} [/tex]

A integral de dx é x . Como é definida ficamos com:

[tex]x|^2_0[/tex]

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:aplica o limite superior na função e subtrai da aplicação do limite inferior na função

[tex]x|^2_0[/tex]

[tex](2) - (0)[/tex]

[tex]2[/tex]

Portanto a integral mais interior [tex] \int^1_0\int^{(1-y)}_0 \boxed{\int^2_0dx} \: dz \: dy[/tex] ficou :

[tex] \int^1_0\int^{(1-y)}_0 \boxed{2} \: dz \: dy[/tex]

............

Novamente resolve a integral mais interior.[tex] \int^1_0 \boxed{\int^{(1-y)}_02 dz }\: dy[/tex]

A integral de 2dz é 2z. Como é definida fica:

[tex]2z|^{(1-y)}_0[/tex]

[tex]2.(1 - y) - 2.(0)[/tex]

[tex]2 - 2y[/tex]

Logo a integral [tex] \int^1_0 \boxed{\int^{(1-y)}_02 dz }\: dy[/tex] ficou"

[tex] \int^1_0 \boxed{2 - 2y }\: dy[/tex]

Agora devemos fazer esta integral.

Integral da constante: é a constante multiplicada pela variável

Integral da potência do tipo [tex]x^N[/tex]: é [tex]\frac{ x^{N + 1} }{N + 1}[/tex]

Logo o resultado de [tex] \int^1_0 \boxed{2 - 2y }\: dy[/tex] será:

[tex] 2y - \frac{2y^2}{2} | ^1_0[/tex]

Aplicando o teorema fundamental do calculo:

[tex] 2 \cdot 1 - \frac{2 \cdot 1^2}{2} -(2 \cdot 0- \frac{2 \cdot 0^2}{2} ) [/tex]

[tex] 2 - \frac{2 \cdot 1}{2} -0+ \frac{2 \cdot 0}{2} [/tex]

[tex] 2- \frac{2}{2} -0+ \frac{0}{2} [/tex]

[tex] 2- 1-0 +0 [/tex]

[tex] 1 [/tex]

........

Logo a integral tripla [tex] \int^1_0\int^{(1-y)}_0\int^2_0dx \: dz \: dy[/tex] dá 1.

Alternativa C) 1