1) Le volume du solide MBCDNPFGHR est la différence entre le volume du cube et le volume du prisme AMNEPR.
Le volume du cube est égal à 8^3 = 512 cm^3.
Le volume du prisme AMNEPR = Aire de la base AMN * hauteur du prisme. L'aire de la base AMN = aire d'un triangle rectangle = (1/2) * AM * AN = (1/2) * x * (8 - x) D'où le volume du prisme AMNEPR = (1/2) * x * (8 - x) * 8 = 4x(8 - x)
Par conséquent, le volume du solide MBCDNPFGHR est V(x) = 512 - 4x(8 - x) V(x) = 512 - 32x + 4x² V(x) = 4x² - 32x + 512.
2) Si a > 0, alors le trinôme du second ax² + bx + c admet un minimum pour x = -b/(2a).
V(x) sera minimal pour x = 32/(2*4) = 32/8 = 4. Ce minimum sera égal à V(4) = 4*4² - 32*4 + 512 = 4*16 - 128 + 512 = 64 - 128 + 512 = 448.
Le minimum du volume V(x) sera atteint si AM = 4 cm . Ce volume sera égal à 448 cm^3.
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1) Le volume du solide MBCDNPFGHR est la différence entre le volume du cube et le volume du prisme AMNEPR.
Le volume du cube est égal à 8^3 = 512 cm^3.
Le volume du prisme AMNEPR = Aire de la base AMN * hauteur du prisme.
L'aire de la base AMN = aire d'un triangle rectangle = (1/2) * AM * AN
= (1/2) * x * (8 - x)
D'où le volume du prisme AMNEPR = (1/2) * x * (8 - x) * 8
= 4x(8 - x)
Par conséquent, le volume du solide MBCDNPFGHR est V(x) = 512 - 4x(8 - x)
V(x) = 512 - 32x + 4x²
V(x) = 4x² - 32x + 512.
2) Si a > 0, alors le trinôme du second ax² + bx + c admet un minimum pour x = -b/(2a).
V(x) sera minimal pour x = 32/(2*4) = 32/8 = 4.
Ce minimum sera égal à V(4) = 4*4² - 32*4 + 512
= 4*16 - 128 + 512
= 64 - 128 + 512
= 448.
Le minimum du volume V(x) sera atteint si AM = 4 cm .
Ce volume sera égal à 448 cm^3.