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Ex 1:

conjecture : cos(x)>=1-x²/2

preuve : f(x)=cos(x)-1+x²/2

f'(x)=-sin(x)+x

f''(x)=-cos(x)+1

or pour tout x réel : cos(x)<=1 donc 1-cos(x)>=0 donc f''(x)>=0

donc f' est croissante sur IR

or f'(0)=0 donc f'(x)<=0 si x<=0 et f'(x)>=0 si x>=0

donc f est décroissante sur IR- et f est croissante sur IR+

or f(0)=0 donc f admet un minimum global en x=0

donc pour tout réel x : f(x)>=0f(0) soit f(x)>=0

donc pour tout réel x : cos(x)-1+x²/2>=0 soit encore cos(x)>=1-x²/2

Ex 2 :

f(x)=x.cos(x)

f(-x)=(-x)(cos(-x))=-x.cos(x)=-f(x)

donc f est paire sur IR

ainsi Cf est symétrique para rappport à l'axe (Oy)

pour tout réel x : -1<=cos(x)<=1

ainsi pour tout x>=0 : -x<=x.cos(x)<=x donc -x<=f(x)<=x

par symétrie axiale, sur IR- : -x<=f(x)<=x

on pose (d1):y=x et (d2):y=-x

on étudie l'intesection de Cf et (d1)

alors x.cos(x)=x donc x=0 ou cos(x)=1 donc x=2kpi si x non nul

on étudie les pentes des tangentes en ces points Mk(2kpi;f(2kpi))

f'(x)=cos(x)-x.sin(x)

donc f(2kpi)=cos(2kpi)-2kpi.sin(2kpi)=1

ainsi la droite (d1) est tangente à Cf aux points Mk(2kpi;f(2kpi))

Cf admet une tangente horizontale si f'(x)=0 soit si cos(x)-x.sin(x)=0

donc x.sin(x)=cos(x) donc x.tan(x)=1 donc tan(x)=1/x

l'équation tan(x)=1/x possède une infinité de solutions sur IR*

donc Cf admet une infinité de tangentes horieonatales sur IR*